Момент инерции твёрдого тела.

Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где - масса -й частицы тела, - ее расстояние от заданного центра или оси.

Предположим, что масса выделенной частицы тела , расстояние от нее до начала координат (т. о) , а координаты, соответственно, (рис. 58).

Момент инерции относительно т. О по определению равен

(250)

а относительно координатных осей:

(251) (252) (253)

Сравнивая (230), (231), (232) и (233), получим связь момен­та инерции тела относительно начала координат с моментами инерции относительно координатных осей: (254)

Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь запишется в виде: (255)

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящий через его центр масс.

Если стержень имеет массу и длину , а ось проходит через центр масс стержня (рис. 59), то коор­динаты левого и правого концов стерж­ня равны - и . Выделим в стержне на расстоянии от оси малый его участок длины . Его мо­мент инерции относительно равен: (256)

Интегрируя (236), получим: (257)

Момент инерции тонкой пластины прямоугольной формы относительно одной из её сторон.

Размеры тонкой пластины массы приведены на рис. 60, выделим в пластине на расстоянии от оси узкий слой ширины и запишем его момент инер­ции:

(258)

Интегрируя (258), получаем: (259)

Момент инерции однородного шара относительно его центра.

Пусть масса шара равна , а радиус . Выделим в шаре тонкий сферический слой радиуса , толщины , момент инерции которого относительно центра шара равен (260)

где:

Интегрируя (260), получим искомый результат:

Теорема Штейнера.

Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось , параллельную заданной оси (рис. 61). Расстояние между осями равно . Выберем частицу тела массы , настояние от нее до осей и указаны на рисунке.

Момент инерции тела относительно по определению: (262)

Из геометрических соображений:

Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно :

(263)

Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma²), где М - масса тела.

В последнем слагаемом:

следовательно, по определению центра масс:

последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:

что и требовалось доказать.