Неперервні випадкові величини

Простором елементарних подій неперервної випадкової величини є всі числа числової осі чи відрізок (відрізки) числової осі.

Як розглядалось в прикладі ( кидання навмання голки в пів інтервал ) ймовірність будь-якого числа, яке теоретично може настати в результаті випробування тотожно рівна 0. Таким чином виникає ситуація, коли з’являються елементарні чи складні події, що мають ймовірність настання 0, а теоретично можуть настати, і навпаки: є події, які мають ймовірність наставання 1, а теоретично можуть не настати. (Наприклад, від всіх чисел числової осі викинути всі раціональні числа).

Всі граничні теореми теорії ймовірностей і деякі просто результати гарантуються з ймовірністю 1, чи їх не наставання з ймовірністю 0. Як розв’язати це протиріччя між математичною теорією ймовірностей і інженерним трактуванням?

,

Як і для будь-якої випадкової величини, так і для неперервної випадкової величини функція розподілу.

її властивості збігаються з властивостями для дискретної випадкової величини, крім однієї: функція розподілу неперервної випадкової величини є неперервною функцією. Таким чином, якщо випадкова величина є неперервною, то нульова ймовірність наставання може бути лише у складних подій, що є нескінченно незліченою множиною чисел.

Неперервна випадкова велична зветься абсолютно неперервною (далі в курсі просто неперервною), якщо існує така числова скалярна функція дійсного аргументу , що належить класу неперервних функцій чи кусково-неперервних з обмеженою кількістю розривів І роду, яка задовольняє наступну інтегральну рівність:

Ця функція зветься функцією щільності (функцією густини). Прикладом неперервної випадкової величини, що не є абсолютно неперервною є сума неперервної випадкової величині і дискретної випадкової величини.

Властивості функції щільності

1. 

2. , тому що функція розподілу є монотонно неспадна.

3. Нехай на відрізку функція щільності є неперервною функцією, тоді рівність еквівалентна , в тих точках, в яких ця похідна існує.

4. Якщо існує похідна від функції розподілу, то має місце наступна рівність:

Доведення:

(використана відповідна властивість функції розподілу)

Примітка! В цьому виразі в якості не лівий кінець цього відрізка, а будь-яке число цього відрізка. При цьому зміниться лише конкретний вигляд нескінченно-малої функції

Приклади неперервних випадкових величин:

1. Рівномірний розподіл.

Неперервна випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку , якщо ї функція щільності наступна:

.

Знайдемо константу

2. Експонційний розподіл

Самостійно перевірити, що

Математичне сподівання від неперервної випадкової величини

Нехай неперервна випадкова функція дійсного аргументу є неперервна випадкова величина, у якої відома функція щільності . Розглянемо випадкову величину .

Наприклад,

ш

Математичним сподіванням зветься

Обґрунтування цієї формули.

Ми знаємо, що якщо дискретна випадкова велична задається табличкою

, то (для спрощення вважаємо, що є неперервної на всій числовій осі.). Усю числову вісь розіб’ємо на відрізки довжини , – мале число. – лівий кінець і-ого відрізка для будь-якого і від до . І замінимо неперервну випадкову величину дискретною випадковою величиною наступним чином:

якщо неперервна випадкова величина настала в і-ий відрізок, то прийняла значення . Чим менше , тим краще апроксимує , при . переходить в .

Табличка для задається:

Неперервна випадкова велична , що дорівнює замінюється дискретною випадковою величиною

Так як – неперервна числова скалярна функція дійсного аргументу , то для малих аргументу , то тим краще апроксимує . Якщо переходить в .

Знайдемо математичне сподівання для .

(використана формула див. «початкові та центральні моменти дискретної випадкової величини»).

Якщо цей інтеграл існує, то дорівнює вищевказаному інтегралу (обмежений по модулю).

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини зветься

Початковим моментом -ого порядку зветься

Показати самим, що всі властивості початкових моментів, включаючи такі самі як і у дискретних випадкових величин.

Центральним моментом -ого порядку випадкової величини зветься

Дисперсією випадкової величини зветься її другий центральний момент

Довести самим, що всі властивості дисперсії випадкової величини, а саме:

1. , то