Початкові та центральні моменти дискретної випадкової величини

Дискретна випадкова величина задана табличкою:

Над дискретною величиною проведено довільних випробувань. Результатами випробувань є числа, ї їх позначимо: . Візьмемо середнє арифметичне:

Це число має наступний зміст, а саме: воно є центром групування в результаті проведених конкретних випробувань.

Якщо достатньо велике число, то з закону великих чисел:

Математичним сподіванням випадкової величини зветься:

Примітка! Математичне сподівання чи математичне очікування (слова-синоніми)

З попередніх розмірковувань випливає наступний зміст математичного сподівання: це число на числовій осі, відносно якого групуються результати конкретних випробувань над випдковою величиною у довільній, достатньо великій серії випробувань.

Властивості математичного сподівання:

1. математичне сподівання константи дорівнює константію. Константу можна представити як вироджену випадкову величину, задавши табличку для неї наступним чином:

2. (Константа виноситься з-під знака математичного сподівання)

Тоді за загальною формулою

Самостійно довести, якщо і числа, то

Розглянемо будь-яку числову скалярну функцію дійсного аргументу

Якщо у випробуванні настало , то

Ця табличка не є табличкою для випадкової величини , бо у першому рядку числа можуть повторюватись.

Наприклад.

Щоб побудувати табличку для випадкової величини необхідно у першому рядку всі одинакові числа замінити одним і у відповідність йому поставити суму ймовірностей. А з цього випливає:

Початковим моментом -ого порядку випадкової величини зветься матиматичне сподівання у степені

Три означення матиматичного сподівання:

1. 

2. 

3. 

Нехай , тоді

. Математичне сподівання може бути: обмежене по модулю, чи , невизначеним.

Випадкова велична зветься центровою випадковою величиною, якщо

Центарльним моментом -ого порядку зветься математичне сподівання центрованої величини у ступені .

Дисперсією випадкової величини зветься її другий центральний момент

Характеристики дисперсії

Дисперсія є якісна характеристика ступеня концентрації результату конкретних випробувань над випадковою величиною відносно її математичного сподівання. А саме: чим менша дисперсія, ти м тісніше концентруються результати конкретних випробувань відносно математичного сподівання.

Дійсно, нехай дисперсія – це мале число. Це означає, що кожен доданок суми – дуже мале число. Розглянемо довільну елементарну подію, яка по модулю сильно відрізняється від математичного сподівання . Тоді ця (елементарна подія – )² є дуже велике число, але відповідний доданок в сумі дуже малий. Це означає, що ймовірність наставання цієї події надзвичайно мале число. З цього випливає, що ця елементарна подія майже ніколи не буде наставати в результаті конкретних випробувань. Таким чином мати достатньо великі ймовірності наставання і часто наставати у результаті конкретних випробувань можуть тільки ті елементарні події, що по модулю мало відрізняються від математичного сподівання.

Формальні властивості дисперсії

1. , то

(Дану властивість довести самостійно)

2. . Якщо , то вона виноситься з-під знака дисперсії у квадраті.

Доведення:

3. 

Доведення:

4. 

Доведення:

Твірна функція – математичне сподівання помножене на

Твірна функція завжди існує і є аналітичною, якщо – обмежене число. Якщо – нескінченність, твірна функція може бути обмеженою функцією дійсного аргумента чи нескінченністю.

Властивості

Якщо твірна функція є аналітичною чи елементарною, то

1. -ата похідна при -ий початковий момент.

2. 

Доведення першої властивості

Якщо сума є аналітичною функцією, то -у похідну по можна внести під знак суми. З цього випливає перша власитвість і брати похідну від кожного доданку суми.

-ата похідна має вигляд

Доведення другої властивості:

Аналітична числова функція завжди розкладається в ряд Маклорена.

Наприклад. Твірна функція біномінального розподілу. Випадкова величина має біномінальний розподіл, якщо її елементарні події – це число появ події в незалежних випробуваннях Бернуллі. А ймовірність наставання цієї елементарної події дорівнює ймовірності наставання цього числа.

Знайдемо твірну функцію випадкової величини

(Самостійно довести, що у біномінальному розподілі та . При доведенні використати, що перша похідна від твірної функції при дорівнює . Для другої частини доведення взяти другу похідну по , при дорівнює . Врахувати, що )