Транспортные задачи.

1. Постановка транспортной задачи.

Транспортными задачами называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в данные пункты назначения.

Простейшая формулировка транспортной задачи, которая называется задачей по критерию стоимости такова:

Имеется поставщиков , ,..., , у которых сосредоточены запасы одного и того же груза в количестве , ,..., единиц, соответственно. Этот груз нужно доставить потребителям , ,…, , заказавшим , ,..., единиц этого груза, соответственно. Известны также все тарифы перевозок груза (стоимость перевозок единицы груза) от поставщика к потребителю .Требуется составить такой план перевозок, при котором общая стоимость всех перевозок была бы минимальной.

Условие транспортнойзадачи удобно записать в виде следующей распределительной (транспортной) таблицы.

…

…

…

…

…

…

…

…

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков за a , а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – за b.

Тогда:

,

.

Транспортная задача называется закрытой, если ресурсы равны потребностям: .

Если же , то транспортная задача называется открытой.

Далее будет показано, что в случае закрытой задачи от поставщиков будут вывезены все запасы груза, и все заявки потребителей будут удовлетворены.

В случае открытой задачи при весь груз будет вывезен, однако будут недопоставки груза экономически невыгодным потребителям. При , наоборот, будут удовлетворены все потребители, но часть груза останется на складах экономически невыгодных поставщиков.

Пусть – количество груза, отправляемого поставщиком потребителю . Тогда суммарные затраты z на перевозки будут вычисляться по формуле:

где матрица с неотрицательными элементами называется планом перевозок, функция называется целевой функцией.

Математическая формулировка транспортной задачи заключается в нахождении плана перевозок , который удовлетворяет

системе ограничений

(по ресурсам),

(по потребностям),

условиям неотрицательности ,

и доставляет минимум целевой функции z

.

Таким образом, тебуется найти неизвестных , удовлетворяющих системе уравнений и условиям неотрицательности , для которых функция цели принимает минимальное значение.

Смысл первой группы равенств в системе ограничений (1.1) состоит в том, что суммарное количество груза, отправленное всем потребителям каждым поставщиком, равно запасу груза у этого поставщика. Вторая группа равенств в системе ограничений (1.1) показывает, что суммарное количество груза, полученное каждым потребителем от всех поставщиков, равно потребности (заказу) этого потребителя.

План перевозок, реализующий минимум целевой функции z , называется оптимальным.

Пример. Составить математическую модель для транспортной задачи, представленной следующей распределительной таблицей:

		20			30			50
				2			4			5
	40
				3			5			8
	60

Модель задачи закрытая, т.к. 100.

Система ограничений транспортной задачи имеет вид:

Очевидны следующие свойства транспортной задачи:

• коэффициенты в системе ограничений принимают только два значения: ноль или единицу,

• коэффициенты правых частей системы ограничений неотрицательны,

• коэффициенты функции цели неотрицательны.

Определение. Всякое неотрицательное решение системы (2), определяемое матрицей называется опорным планом транспортной задачи.

Определение. План , при котором функция цели принимает минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Теорема. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1), т.е. задача была бы закрытой.

Теорема. Оптимальный план закрытой транспортной задачи существует всегда.