Для самостійної роботи

Критерії оцінювання: Кожне завдання – 4 бали. Максимальна кількість балів – 12.

Завдання Побудувати ДКНФ для логічних функцій, визначених в вигляді:

а) f(x₁, х₂, х₃)=0 для Х; b) f(x₁, х₂, х₃, х₄)=0 для Х; c) f = f(x, y, z).

Варіант	a) X; b) X; c) f = f(x, y, z);	Варіант	a) X; b) X; c) f = f(x, y, z);
1	X={1, 2, 5, 7}; X={0, 3, 5, 9, 13} ;	4	a) X={1, 2, 4, 6}; b) X={0, 2, 3, 10, 14}; c) ;
2	a) X={0, 1, 4, 5}; b) X={0, 1, 5, 7, 11}; c) ;	5	a) X={0, 1, 3, 7}; b) X={1, 3, 8, 10, 12}; c) ;
3	a) X={1, 3, 4, 6}; b) X={2, 3, 6, 9, 15}; c) ;	6	a) X={0, 2, 4, 7}; b) X={1, 4, 7, 12, 15}; c) ;

Самостійна робота № 13

Тема: Мінімізація булевих функцій за допомогою карт Карно

Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 19);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. М.Ф. Бондаренко, Н.В. Білоус, А.Г.Руткас. Комп’ютерна дискретна математика. – Х: „Компанія СМІТ”, 2004.-480с.

2. В.В. Коштоев, К.К. Кипиани „Основы прикладной теории_цифровых автоматов” Учебное пособие. – Тбилиси:1998. – 155 с.(електронний посібник)

Рис.2
		1
	1	1

К арти Карно з двома змінними. Розглянемо булевий вираз , що є ДНФ для вихідного булевого виразу f=f(x,y). Карта Карно для цього виразу зображена на рис. 1, або можливий варіант на рис.2. Чотири квадрати (1, 2, 3, 4) відповідають чотирьом можливим комбінаціям х та у в таблиці істинності з двома змінними. При такому зображенні квадрат 1 на карті Карно відповідає добуткові , квадрат 2 - добуткові і т.д. Розмістимо логічні «1» у всіх квадратах, яким відповідає добуток у вихідному булевому виразі f(x,y)=1. Об'єднаємо сусідні одиниці в один контур групами по дві. Побудова контурів продовжується доти, доки всі одиниці не будуть в середині контурів. Кожний контур є новим членом спрощеного булевого виразу.

К арти Карно з трьома змінними. Розглянемо вихідний булевий вираз f=f(x,y,z) і його ДНФ

Рис.4
				1
	1	1		1

Карта Карно для випадку трьох змінних зображена на рис 3, 4.

Рис.5
				1
				1
	1	1
		1

Карти Карно з чотирьиа змінними – зображення на малюнку 5.

Процес мінімізації можна поділити на три етапи.

І етап - заповнення карт Карно (Вейча). У

відповідні клітини записують значення функції, що відповідає даному набору (інтерпритації).

ІІ етап - наведення контурів. На карті Карно (Вейча) наводять контури, що об'єднують "1"; за цим необхідно дотримуватися таких правил:

1) контур повинен бути прямокутним i в ньому повинні бути тільки одиниці;

2) кількість клітин у контурі повинна бути цілим степенем двійки, тобто 1,2,4,8,16,... ;

3) однi й тi ж клітини з одиницями можуть входити в декілька контурів;

4) крайні праворуч та ліворуч стовпчики вважаються сусідніми, те ж саме й для верхнього та нижнього рядків;

5) контури повинні бути якомога більшими, а їх кількість якомога меншою;

6) необхідно об'єднати всі одиниці, до яких підходять сформульовані правила.

IІІ етап - запис мінімізованої логічної функції у вигляді МДНФ. Для запису МДНФ функції необхідно дотримуватися таких правил:

1) функцію записують у вигляді диз'юнкції, кожен член якої відповідає одному контуру;

2) кожен член диз'юнкції є кон'юнкцією змінних, що мають однакові значення для даного контуру;

x	y	z	f(x, y, z)	Конституетни одиниці
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

3) якщо всі клітини карти Карно (Вейча) охоплені одним контуром, логічна функція тотожно дорівнює одиниці при всіх значеннях наборів.

Для отримання МКНФ функції контурами охоплюють клітини з нульовими значеннями функції, а під час запису членів логічного виразу беруться інверсії аргументів на перехресті яких знаходяться контури.

╔═··· Приклад 1. Знайти МДНФ для логічної функції f(x, y, z) визначеної таблицею істинності:

Конституенти будуємо для тих інтерпретацій, де f = 1. Будуємо їх як кон’юнкції змінних, виконуючи інверсію тих змінних, значення яких в даній інтерпретації – 0.

Тобто, для f(0, 0, 1) = 1, перша конституента має вигляд: x̅·y̅·z. Для f(0, 1, 1) = 1 друга конституента має вигляд: x̅·y·z і т.д.

ДДНФ f = x̅·y̅·z + x̅·y·z + x·y̅·z̅ + x·y̅·z.

Д ля отримання МДНФ будуємо карту Карно (рис.6).

Визначаємо групи А і В – сусідні клітини з значенням 1.

Імплікантою групи А є кон’юнкція змінних, що мають однакове значення в групі, тобто А= x̅·z.

Аналогічно визначаємо імпліканту В= x·y̅.

Таким чином, одержимо мінімальна ДНФ: f(x, y, z) = x̅·z + x·y̅.

╚ ═···

╔═··· Приклад 2. Знайти МДНФ для логічної функції f(x, y, z, t) визначеної в карті Карно (рис.7)

А= x̅·z ; В = y·z·t; C= x·y̅·z̅.

МДНФ: f(x, y, z, t) = x̅·z + y·z·t + x·y̅·z̅.

╚ ═···

К райні праворуч та ліворуч стовпчики важаються сусідніми, те ж саме й для верхнього та нижнього рядків, тобто можливі поєднання в групу згідно рисунку 8а,б.

Кількість клітин у контурі повинна бути цілим степенем двійки:,2,4,8,16,... , тобто можливі поєднання в групу згідно рисунку 9а,б.