МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ПАВЛОГРАДСЬКИЙ ТЕХНІКУМ

ДЕРЖАВНОГО ВНЗ «НГУ»

Методичні інструкції

по виконанню самостійних робіт

з дисципліни «Комп’ютерна логіка»

з теми «Логічні основи ЕОМ»

для студентів денної форми навчання

за напрямом підготовки 050102 „Комп’ютерна інженерія”

зі спеціальності 5.05010201

«Обслуговування комп’ютерних систем і мереж»

Павлоград

2012

Методичні інструкції по виконанню самостійних робіт з дисципліни

«Комп’ютерна логіка» за темою «Логісні основи ЕОМ»

для студентів денної форми навчання

для підготовки молодших спеціалістів

за напрямом підготовки 050102 „Комп’ютерна інженерія”

зі спеціальності 5.05010201 «Обслуговування комп’ютерних систем і мереж»

розроблено: Кондратова О.Л. викладач

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії комп'ютерних технологій

Протокол № від

Голова ц/к _____________

О.В. Демченко

Пояснювальна записка

В посібнику приведений в стислому вигляді теоретичний матеріал до вивчення розділу «Логічні основи ЕОМ» з дисципліни «Комп’ютерна логіка», а також завдання до кожної теми.

Посібник може використовуватись студентами для самостійного засвоєння матеріалу лекцій та самостійних робіт, а також на уроці в якості опорного конспекту лекцій.

Основна мета створення посібника – спростити для студентів процес підбору необхідного теоретичного матеріалу для самостійного засвоєння, полегшити та оптимізувати роботу викладача при викладенні матеріалу, вирішити питання недостатньої кількості підручників.

Самостійна робота № 8

Тема: Таблиці істинності логічних функцій f_n(x, y)

Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 12);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. М.Ф. Бондаренко, Н.В. Білоус, А.Г.Руткас. Комп’ютерна дискретна математика. – Х: „Компанія СМІТ”, 2004.-480с.

2. Стрыгин В.В., Щарев Л.С. Основы вычислительной микропроцессорной техники и программирования: Учеб. для вузов. – М: Высш. Шк., 1989. – 479с.

Булеві змінні і функції

Для зображення інформації в ПК використовується двійкова система числення. Таким чином, всі операції, які використовує комп’ютер, проводяться на множині {0, 1}. Але елементарні операції з двійковими числами не схожі на елементарні арифметичні операції додавання, віднімання, тощо. Ці операції зручно зображувати за допомогою апарата двійкової логіки. Операції двійкової логіки на множині {0, 1} утворюють алгебраїчною структуру, яку називають булевою алгеброю (назва походить від прізвища англійського математика XIX століття Джорджа Буля).

Розглянемо двохелементну множину B = {0, 1}.

Змінні, які можуть приймати значення з множини В, називають логічними або булевими змінними. Самі значення 0 і 1 булевих змінних називають булевими константами.

В мовах програмування для роботи з такими змінними, як правило, вводиться спеціальний логічний тип (наприклад в мовах Turbo Pascal і Java – boolean, Si+ - Bool). Змінні такого типу можуть приймати тільки значення true і false.

Функція виду y = f (x₁, x₂,…x_n), аргументи і значеннями якої належать множині В, називається n-місною булевою функцією. Такі функції також називають логічними або перемикальними.

Кортеж (x₁, x₂,…x_n) конкретних значень булевих змінних називається двійковим словом або булевим набором довжини n. Для булевої функції y = f (x₁, x₂,…x_n) конкретне значення булевого набору (x₁, x₂,…x_n) називається також інтерпретацією булевої функції. Множина всіх 2-вих слів, що позначається через Вⁿ, називається n-вимірним булевим кубом і містить 2ⁿ елементів-слів: | B | = 2ⁿ.

Для n=1 є всього 2¹=2 слова (0) і (1). Для n=2 існує 2²=4 слова (00), (01), (10), (11).

Функції кількох незалежних змінних можна розглядати як функції від більшої кількості змінних. При цьому значення функції не змінюється при зміні значення цих «додаткових» змінних.

Змінна х_і функції f(x₁, x₂, …x_i-1, x_i, x_i+1, …x_n) називається неістотною (або фіктивною), якщо f(x₁, x₂, …x_i-1, 0, x_i+1, …x_n) = f(x₁, x₂, …x_s-1, 1, x_i+1, …x_n). Якщо змінна х_і функції f(x₁, x₂, …x_i-1, x_i, x_i+1, …x_n) є неістотною, то f(x₁, x₂, …x_i-1, x_i, x_i+1, …x_n) = f(x₁, x₂, …x_i-1, x_i+1, …x_n), тобто її можна вилучити з усіх інтерпретацій і значення функції при цьому не зміниться.

Булеві функції можуть бути задані такими способами:

1. За допомогою таблиці істинності (значеннями на кожній з інтерпретацій). Іноді приводяться номери інтерпритацій, на яких функція дорівнює 1.

2. Порядковим номером, що має ця функція;

3. Аналітично, у вигляді формули.

Розглянемо кожний з заданих способів докладніше.

Таблиці істинності

Таблиці, в яких кожній інтерпретації функції (x₁, x₂,…x_n) поставлено у відповідність її значення, називаються таблицями істинності булевої функції.

В таблиці кожній змінній та значенню функції відповідає по одному стовпчику, а кожній інтерпретації – один рядок.

х	0	1	2	3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Наведемо вигляд таблиці для n=1:

Тобто ₁(1) = 1; ₂(1) = 0; ₂(0) = 1;

Наведемо вигляд таблиці для n=2:

х	у	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Тобто ₁(1, 0) = 0; ₁₂(1,0) = 0; ₆(0,1) = 1.

Кожній функції присвоюється порядковий номер у вигляді натурального числа, двійковий код якого зображує стовпчик значень відповідної функції. Наприклад, для функції ₁₂ для числа 12 = 1100₂ і для 1-ї інтерпретації ₁₂(0,0) = 1, ₁₂(0,1) = 1, ₁₂(1,0) = 0, ₁₂(1,1) = 0.

Більшість із розглянутих функцій часто використовують на практиці і мають певні позначення:

Функція	Позначка	Назва	Інші познач.	прочитання
0(х, у)	0	Константа 0
1(х, у)	ху=ху	Кон’юнкція (логічне і)	&,AND,min	х і у
2(х, у)	ху	Заперечення імплікації	\	х і не у
3(х, у)	х	Повторення першого аргументу		як х
4(х, у)	ух	Заперечення оберненої імплікації	\	не х і у
5(х, у)	у	Повторення другого аргументу		як у
6(х, у)	ху	Виключає «або» (сума за модулем 2)	, XOR	х не як у
7(х, у)	ху	Диз’юнкція (логічне «або»)	OR,+,max	х або у
8(х, у)	ху	Заперечення диз’юнкції (стрілка Пірса)		не х і не у
9(х, у)	ху	Еквівалентність	, 	х як у
10(х, у)		Заперечення другого аргументу	y	не у
11(х, у)	ух	Обернена імплікація		х, якщо у
12(х, у)		Заперечення першого аргументу	x	не х
13(х, у)	ху	Імплікація		якщо х, то у
14(х, у)	x | y	Заперечення імплікації (штрих Шеффера)		не х або не у
15(х, у)	1	Константа 1

Випишемо таблиці істинності для окремих логічних бінарних функцій f_n(x, y).

х	у	ху
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Диз’юнкція дає в результаті 1, якщо хоч один операнд дорівнює 1. Диз’юнкцію часто називають логічним додаванням, тому часто замість знака  використовують знак +.

Диз’юнкція 3-х і більше операндів також дає 1 в результаті, якщо хоч один з операндів має значення 1. Чотирьом інтерпретаціям відповідає код стовпчика результатів 0111, що є двійковим кодом числа 7, тобто в таблиці операція диз’юнкції приведена як ₇(х, у).

х	у	ху
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Кон’юнкція дає в результаті 1, якщо всі операнди мають значення 1. Операцію також називають логічним множенням і замість позначки  використовують знак .

Кон’юнкція 3-х і більше операндів також дає 1 в результаті, якщо всі операнди мають значення 1. Чотирьом інтерпретаціям відповідає код стовпчика результатів 0001, що є двійковим кодом числа 1, тобто в таблиці операція кон’юнкції приведена як ₁(х, у).

х
0	1
1	0

Інверсія (заперечення) значення х має значення протилежне х. Це унарна операція в таблиці приведена як ₂(х). Аналогом позначки є позначка х.

х	у	ху
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Імплікація дає в результаті 0 тільки в одній інтерпретації (1, 0). Чотирьом інтерпретаціям відповідає код стовпчика результатів 1101, що є двійковим кодом числа 13, тобто в таблиці операція імплікація приведена як ₁₃(х, у).

х	у	ху
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Еквівалентність дає в результаті 1 тільки в інтерпретаціях (0, 0) і (1, 1). Чотирьом інтерпретаціям відповідає код стовпчика результатів 1001, що є двійковим кодом числа 9, тобто в таблиці операція еквівалентність приведена як ₉(х, у).

х	у	ху
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Сума за модулем 2 дає в результаті 1 тільки в інтерпретаціях (0, 1) і 1, 0). Чотирьом інтерпретаціям відповідає код стовпчика результатів 0110, що є двійковим кодом числа 6, тобто в таблиці операція імплікація приведена як ₆(х, у).