Розв'язання
Для визначення справжності монети покладемо на кожну чашу терезів по 50 монет і знайдемо різницю їх мас. Якщо вибрана справжня монета, то серед 100 монет, які залишились, 50 фальшивих і 50 справжніх. Якщо на одній чаші а фальшивих монет, то на ній 50-а справжніх, а на другій чаші а справжніх і 50-а фальшивих. Тому різниця мас на цих чашах дорівнює 50 – а – а = 50 – 2a грамів, тобто є парним числом. Якщо ж вибрана фальшива монета, а на першій чаші k фальшивих монет, то вказана різниця дорівнює 49-2k грамів, тобто виражається непарним числом. Отже, непарне показання стрілки вказує на фальшивість вибраної монети, а парність — на справжність.
Задачі для самостійного розв'язування
Розкладіть гирі вагою 1, 2, 3,..., 555 на три купки, різні за вагою.
Замок складається із 64 однакових квадратних кімнат, що мають двері в кожній стіні і кожна має вигляд квадрата 8x8. Підлога в кімнатах пофарбована в білий колір. Щоранку маляр прогулюється по замку, причому, коли він проходить через кімнати, то перефарбовує підлогу в ній з білого кольору в чорний, а з чорного — в білий. Чи можливо, що колись підлога в замку буде пофарбованою в шаховому порядку в чорний та білий кольори?
Чи можна число 203 подати у вигляді суми декількох натуральних чисел так, щоб і добуток цих чисел також дорівнював 203?
Як розташувати на площині декілька п'ятаків, щоб кожен з них дотикався рівно до трьох інших?
Зафарбуйте декілька клітинок у квадраті 10x10 так, щоб у кожній клітинці було рівно дві сусідні за стороною зафарбовані клітинки.
Чи можна покрити одиничний квадрат сімома такими самими квадратами так, щоб жодні два з них не перетиналися між собою, але кожен з них покривав хоч одну внутрішню точку заданого квадрата?
Чи можна в кубі вирізати отвір, через який пройде куб таких самих розмірів?
Є 6 монет, серед яких дві — фальшиві, вони легші від справжніх. За три зважування на шалькових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети.
Є 10 мішків, деякі з них повністю заповнені фальшивими монетами, а всі інші — справжніми. Фальшива монета на один грам легша від справжньої. Про один з мішків відомо, що він заповнений справжніми монетами. За одне зважування на терезах зі стрілкою знайдіть всі мішки із фальшивими монетами.
Є 6 гир: по дві зелених, чорних і білих. У кожній парі одна гиря важка, а друга – легка, причому всі важкі і всі легкі гирі важать однаково. За два зважування на шалькових терезах визначте всі три важкі гирі.
Є 16 монет, одна з яких — фальшива, однак невідомо, легша вона чи важча від справжньої. За чотири зважування на шалькових терезах без гир знайдіть фальшиву монету.
Є 12 монет, одна з яких — фальшива, однак невідомо, легша вона чи важча від справжньої. За три зважування на шалькових терезах без гир знайдіть фальшиву монету.
Є 68 монет, різних за вагою. За 100 зважувань на шалькових терезах без гир знайдіть найважчу і найлегшу монети.