Розв'язання

Поділимо наші монети на три купки по три монети в кожній. Порів­няємо тепер вагу першої та другої купок. За першого зважування можливо дістати два результати: або ваги зрівноважаться, або якась купка виявить­ся легшою.

Розглянемо перший випадок. Очевидно, що фальшива монета знахо­диться у третій купці. Щоб її відшукати, за другого зважування покладемо на шальки по одній монеті з цієї купки. Якщо якась монета легша від іншої, то саме вона фальшива, а якщо монети мають рівну вагу, то третя монета — фальшива.

Розглянемо другий випадок. Очевидно, що фальшива монета знахо­диться в легшій купці. Щоб її відшукати, друге зважування проведемо так само, як і в першому випадку.

15. Є 101 монета. Серед них 100 однакових справжніх монет і одна фальшива, що відрізняється від них вагою. Необхідно дізнатися, легша чи важча фальшива монета від справжньої. Як це зробити з допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир?

Розв'язання

Покладемо на шальки по 50 монет. Якщо терези врівноважені, то всі монети справжні, тому фальшива монета та, що не на терезах. Легша чи важча вона від справжньої, визначається за другого зважування в порів­нянні зі справжньою монетою. Якщо ж за першого зважування терези не врівноважені, то візьмемо, наприклад, легші 50 монет і поділимо на дві купки по 25 монет, порівняємо вагу цих купок. Якщо їх ваги однакові, то всі ці монети справжні, й фальшива монета знаходиться у важчій купці з 50 монет. Якщо ж їх ваги не однакові, то фальшива монета легша від справжньої.

16. Серед 20 металевих кубиків, однакових за розмірами і зовнішнім виглядом, є алюмінієві й дюралеві (важчі). Як за допомогою 11 зважувань на шалькових терезах без гир визначити число дюралевих кубиків?

Розв'язання

Візьмемо два довільних кубики й порівняємо їх маси за допомогою те­резів. При цьому можуть виникнути два випадки: шальки терезів не врівно­важились або шальки врівноважились. Розглянемо перший випадок. Зро­зуміло: що серед взятих кубиків один алюмінієвий, а другий дюралевий. Покладемо цю пару на одну шальку терезів. Розділимо ті 18 кубиків, що за­лишились, на дев'ять пар і кожну будемо порівнювати за масою з першою парою. Якщо досліджувана пара виявиться за масою такою ж, як і перша, то в цій парі один кубик алюмінієвий, а другий дюралевий. Якщо досліджу­вана пара буде легшою, то обидва кубики будуть алюмінієвими. Якщо досліджувана пара буде важчою, то обидва кубики цієї пари — дюралеві. Таким чином, незалежно від показань терезів, ми зможемо точно визначи­ти кількість дюралевих кубиків у кожній парі. Тому для підрахунку загальної кількості дюралевих кубиків досить десяти зважувань.

Розглянемо тепер другий випадок, коли за першого зважування шальки терезів врівноважились. Будемо брати із 18 кубиків, що залишились, по 2 і порівнювати їх із першою парою доти, поки ми не знайдемо пару з іншою вагою. Якщо ця пара виявиться важчою від першої, то всі кубики попе­редніх пар — алюмінієві, а якщо вона виявиться легшою, то всі кубики по­передніх пар — дюралеві. Тепер порівняємо між собою кубики цієї пари і дізнаємось, з яких кубиків вона складається, а потім серед розглянутих ку­биків утворимо пару з різними масами. Після цього всю решту пар кубиків будемо порівнювати з цією парою і робити відповідні висновки, як і під час розгляду першого випадку. Таким чином, у другому випадку для підрахунку загальної кількості дюралевих кубиків досить виконати 11 зважувань.

17. Є 101 монета. Серед них 50 фальшивих. Кожна фальшива монета відрізняється від справжньої на 1 грам. За допомогою одного зважування на терезах зі стрілкою (показує різницю мас на чашах) визначити, чи є мо­нета фальшивою.