1.Определители,их свойства,вычисление.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA,называемое ее определителем.Определитель матрицы А называется так же ее детерминантом.Свойства определителей: 1)«Равноправность строк и столбцов».Определитель не изменяется,если его строки заменить столбцами,и наоборот. 2)При перестановки двух параллельных рядов определитель меняет знак. 3)Определитель,имеющий два одинаковых ряда,равен 0. 4)Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя. 5)Ели элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму 2 слагаемых,то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. 6)«Элементарные преобразования определителя».Определитель не изменится,если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда,умноженные на любое число.7)«Разложение определителя по элементам некоторого ряда».Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. 8)Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

2.Матрицы,действия над ними,обратная матрица

Матрицей назыв. прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений содержащая m-строк и n-столбцов.Две матрицы одного размера назыв.равными,если они совпадают поэлементно А=В… Матрица состоящая из 1 строки-матрица строка(вектор),а из 1 столбца-матрица столбец.Матрица назыв. квадратной если число строк равно числу столбцов.Элементы aij,у которых номер столбца равен номеру строки назыв. диагональными и образуют главную диагональ.Квадратная матрица назыв. треугольной,если все элементы,расположены по одну сторону от главной диагонали,равны нулю.Произведение матрицы А на число π назыв.матрица В=πА,элементы которой вij=πаij.Следствие:общий множитель всех элементов выносится за знак матрицы.Сумма 2ух матриц одинакового размера назыв.матрица С=А+В элементы которой Сij=аij+ вij.Умножение матрицы на матрицу:результатом умножения матриц будет матрица каждый элемент которой равен сумме произведения элементов i-той строки 1 матрицы на соответствующие элементы j-той строки 2 матрицы в результате получим матрицу столько же строк сколько на 1ой и столбцов в матрице 2.Свойства матриц:1)А+В=В+А; 2)(А+В)+С=А+(В+С); 3)π(А+В)=πА+πВ; 4)А(В+С)=АВ+АС; 5)(А+В)+С=А+В+С; 6)π(АВ)=(πА)В=А(πВ); 7)А(ВС)=(АВ)С.Транспонирование матрицы-переход от матрицы А к матрицеА^т,в котором строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.Свойства операции трансформ.:1)(А^T)^T=A; 2)(πA)^T=π A^T; 3)(A+B)^T=A^T+B^T; 4)(AB)^T=B^T A^T.Матрица А^-1 назыв.обратной по отношению к квадратной матрице А,если при умножении этой матрицы на данную как справа,так и слева,получаем единичную матрицу.

3.Векторы,их длина,линейные операции над векторами. Коллинеарность,компланарность,ортогональность векторов,угол между векторами.

Вектор-это направленный прямолинейный отрезок,т.е.отрезок,имеющий определенную длину и определенное направление.Длиной и модулем вектора АВ назыв. длина отрезка и обозначается │АВ│.Вектор,длина которого равна 0,назыв.нулевым вектором(он направления не имеет).Вектор,длина которого равна единице,назыв. единичным вектором.Векторы лежащие на одной или на параллельных прямых назыв. коллинеарные.Три вектора в пространстве назыв.компланарными,если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.Свойства линейных операций:1)х+у+у+х; 2)(х+у)+z=x+(y+z); 3)α(βx)=(αβ)x; 4)α(x+y)=αx+αy; 5)(α+β)x=αx+βx; 6)x+(-x)=0.Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения,вычитания векторов,умножение вектора на число.Произведением вектора а на скаляр π назыв.вектор πа,который имеет длину │π│*│а│,коллинеарен вектору а,имеет направление вектора а,если π>0 и противоположное направление,если π<0.Угол между векторами: cosϕ=ab/|a|*|b| т.е cosϕ=ax bx+ay by+az bz/√ax^2 +ay^2 +az^2 *√bx^2 +by^2 +bz^2.Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и в: а|в→ах вх+ау ву+az bz=0.Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. 90 градусов(их скалярное произведение равно нулю).

4.Скалярное,векторное,смешанное произведение векторов,их приложения.

Сколярным произвед.2нулевых векторов а и в назыв.число,равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.а*в=│а│*│в│cosϕ.Свойства скал.вект.:1)а*в=в*а;2) (πа)в=π(ав); 3)а(в+с)=ав+ас; 4) а^2 =│a│^2.; 5)а│в,то ав=0.Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.Векторным произведением вектора а на вектор в назыв.вектор с,который:1)перпендикулярен векторам а и в. 2)имеет длину,численно равную площади параллелограмма,построенного на векторах а и в как на сторонах,т.е │с│=│а│*│в│sinϕ. 3)векторы а,в,с образуют правую тройку.Свойства векторн.произ.:1)векторное произв.коллинеарных векторов =0. 2)(πа)в=π(ав). 3)ав=-(ва). 4)(а+в)с=ас+вс.Смешанное произведение 3ех векторов назыв.скалярное произведение 1ого из векторов на векторное произведение 2ух других.Свойства:1)Смешенное произведение компланарных векторов=0. 2)Четная перестановка в смешанном произведении его не меняет: с(ав)=а(вс)=в(са). 3)Модуль смешанного произведения 3ех векторов равен объему параллелепипеда ,построенного на этих векторах.