11. Основные теоремы о пределе функции в точке. Первый и второй замечательный пределы.

Основные теоремы о пределах

Т1. (О единственности предела)

Если функция f(x) имеет предел в точке а, то этот предел единственный.

Т2. (О предельном переходе в неравенстве )

Пусть функции f(x) и g(x) определены на одном и том же промежутке Х и существуют пределы этих функций в т. а

Кроме того, существует такое число d > 0, что для всех х из d-окрестности числа а f(x) ³ g(x). Тогда A ³ B.

Т3. (Об ограниченности функции имеющей предел)

Е сли функция f(x) имеет конечный предел в точке а, то существуют числа М > 0 и d > 0 такие, что для всех х из d-окрестности точки а

Т 4. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, функции f(x) и h(x) имеют в точке а предел, равный А, т.е.

Тогда если f(x) £ g(x) £ h(x), то

Т5. (Связь предела с алгебраическими операциями)

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы В и С. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и f(x)/g(x) (при С ¹ 0) имеют в точке а пределы, равные В ± С, В × С и B/C соответственно.

Н екоторые важные пределы

1.

2 . Первый замечательный предел:

3 . Второй замечательный предел

Или

Делая замену переменной, имеем

4.

12. Непрерывные функции. Определение, теорема о непрерывности суммы, разности, пр-ия и частного двух функций. Характеристика точек разрыва функции.

Непрерывность функции

О пределение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

1 .1. Через односторонние пределы:

1 .2. На языке e – d

Определение 2 (на языке последовательностей). Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности значений аргумента {xn}, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функций {f(xn)} сходится к f(x0).

Е сли то функцию f(x) называют непрерывной в точке х0 справа (слева). Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

Определение 3. Функция f(x) непрерывна в точке х0, если

Арифметические действия над непрерывными функциями

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0.

Тогда функции f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и f(x)/g(x) также

непрерывны в этой точке (последняя при g(x)¹0).

Доказательство. Теорема следует из определения

непрерывности функций.

К лассификация точек разрыва функций

Е сли существует , но функция в точке x0 не определена, то разрыв функции в точке называется устранимым.

Пример.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва

функции f(x), если f(x) в точке х0 не является непрерывной.

Точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода функции

f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не

равные друг к другу правый и левый пределы:

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из них из односторонних пределов бесконечен. Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках [a,b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b. Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.