3.Комплексные числа. Определение комплексного числа, действия с комплексными числами. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Корень n-ой степени. Решение квадратного уравнения.
При рассмотрении ряда задач действительных чисел «не хватает». Например, уравнение x2 + 1 = 0 не имеет решения на множестве действительных чисел. Возникает потребность в расширении понятия числа. Действительные числа «заполняют» всю числовую ось. Поэтому остаётся возможность отождествить новые числа с точками плоскости.
О
пр.1.
Введем на плоскости прямоугольную
систему координат XOY. Каждая точка
плоскости однозначно определяется
своими координатами (x;
y). Назовем
комплексным числом z
пару действительных чисел (x;
y) (порядок важен)
со следующими операциями:
1. Сложение. Если z1 = (x1; y1), z2 = (x2; y2), то
2
.
Умножение:
Геометрический смысл операций сложения и умножения
В
ведем
на плоскости полярную
систему координат. Тогда
Р
ассмотрим
комплексные числа вида z
= (x; 0). Они
располагаются на оси OX. Для таких
чисел операции сложения и умножения
превращаются в обычные операции сложения и умножения действительных чисел. Каждое действительное число x отождествляем с комплексным числом вида z = (x; 0).
Р
ассмотрим
специальное число i
= (0; 1). Тогда
Число i – мнимая единица.
Каждое мнимое число выражаем через i: z = (0; y) = iy
Стандартная запись комплексного числа:
x = Rez – действительная, y = Imz – мнимая части комплексного числа z.
Операции сложения и умножения комплексных чисел, записанных в стандартной форме:
М
одулем
комплексного числа z
= x + iy
называется
Свойства операций сложения и умножения:
1. Коммутативность. z1 + z2 = z2 + z1.
2. Ассоциативность. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
3. Дистрибутивность. (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3.
В
ычитание
комплексных чисел:
Деление комплексных чисел:
П
ример
1. Выполнить арифметические действия
над комплексными числами z1
= 1 + i, z2
= 1 – i.
Пример 2. Найти модуль числа z = 3 – 4i.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
1
.
Умножение:
2. Деление:
3
.
Формулы Муавра:
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
Рассмотрим вопрос об извлечении корня n-ой степени из числа
z
= r(cosj
+ i sinj).
Это означает, что требуется найти такое
комплексное число w
= r(cosy
+ i siny),
чтобы
Отсюда получим равенства:
Таким образом, корни задаются следующими формулами:
Показательная форма комплексного числа
Формула Эйлера:
А
рифметические
операции над комплексными числами в
показательной форме.
1
.
Умножение:
2. Деление:
3
.
Возведение в степень:
Пример 3. 1) Записать число
в алгебраической форме;
2) Изобразить его на координатной плоскости; 3) Записать число a в тригонометрической и показательной формах; 4) Вычислить a5; 5) Найти все корни уравнения z3 – a = 0.
Решение.
2)
3
)
Число a в
тригонометрической форме имеет вид:
Отсюда число a в тригонометрической форме:
Число a в показательной форме:
5) Найдем все корни уравнения z3 – a = 0. Запишем уравнение в виде
Полагая k = 0, 1, 2, по формуле Муавра найдем:
Решение квадратного уравнения
Рассмотрим квадратно уравнение: az2 + bz + c = 0,
a
,
b, c
– комплексные числа и a
¹ 0.
Поделим уравнение на a:
О
тсюда
находим корни уравнения:
Пусть a, b, c – действительные числа и дискриминант D < 0. Тогда
О
чевидно,
что
Пример 4. Решить уравнение: x2 – x + 1 = 0.
Д
искриминант
D = 1 – 4 = –3 < 0. По
формуле (1) корней квадратного уравнения
Пример 5. Решить уравнение: x4 – 6x2 + 25 = 0.
Делаем замену y = x2: y2 – 6y + 25 = 0, D = 36 – 100 = –64 < 0.
Отсюда x2 = y1 = 3 + 4i, т.е.
Для k = 0:
г
де
Для k = 1:
Далее решаем уравнение x2 = y2 = 3 – 4i, т.е.
Решая аналогично, получим: x3 = 2 – i, x4 = –2 + i.
Разложение многочленов
Р
ассмотрим
уравнение n-й
степени
ai – заданные комплексные числа, a0 ¹ 0.
Основная теорема алгебры (без доказательства).
Уравнение (2) имеет n в общем случае комплексных
корней z1, z2, … , zn .
Отсюда имеем:
Ц
елые
неотрицательные числа ki
называются
кратностями корней, причем их сумма