16. Теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Теорема Ферма

Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю, т.е. f '(x0) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма

В точке (х0; f(x0)) касательная к графику функции f(x) || оси Ох

Доказательство. Пусть для определенности f(x) в точке х0 имеет наибольшее значение, т.е. для " точки х0+ Dх Î(a, b)

f(x) £ f(x0) для "хÎ(a, b) Þ Dy = f(x0+Dx) - f(x0) £ 0

Поэтому, если Dх > 0 (x > x0), то

Если же Dх<0 (x<x0), то Dу/Dх ³ 0 Þ

Т.о. правая производная в точке х0 неположительна, а левая – неотрицательна. По условию f (x0) существует Þ f '+(x0) = f ' -(x0) = f '(x0). Это возможно только в случае, когда f '+(x0) = f '-(x0) = 0 Þ f '(x0) = 0.

Замечание. Теорема неверна, если функцию f(x) рассматривать на отрезке [a, b]. Например, функция f(x) = x на отрезке [0, 1] в точке х=0 принимает наименьшее, а в точке х=1 – наибольшее значение, однако в обеих точках производная в ноль не обращается в 0 ( f '(x) = x' = 1).

Теорема Ролля

Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) f(x) дифференцируема на (a, b); 3) f(a) = f(b). Тогда существует точка сÎ(a, b), в которой f '(с) = 0. Доказательство: Т.к. функция f(x) непрерывна на [a, b], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное m, т.е. m £ f(x) £ M. Возможны 2 случая: 1) m = M; 2) m < M.

1) m = M = f(x) = const Þ f '(x) = 0 в " точке [a, b].

2) m < M. Т.к. f(a) = f(b) Þ хотя бы одно из двух значений

m или M не принимается на концах отрезка [a, b] Þ

$cÎ(a, b) в которой f(x) принимает наибольшее или

наименьшее значение на (a, b). Т.к. f(x) дифференцируема

в точке с, из теоремы Ферма следует f '(с) = 0.

Замечание Все три условия теоремы Ролля существенны.

Теорема Лагранжа

П усть на [a, b] определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [a, b]; 2) дифференцируема на (a, b). Тогда существует точка сÎ(a, b) такая, что справедлива формула

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

к оторая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля Þ $сÎ(a, b) такая, что F '(с) = 0.

Замечания

Замечание 1. Равенство f(b) – f(a) = f '(с)(b – a), a < c < b, называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Замечание 2. Если положить а = х, b = x + Dx, то получим f(x + Dx) – f(x) = f '(x + Dqx)D×x, где 0 < q < 1. Теорема Лагранжа лежит в основе многих формул и теорем математического анализа.

Правило Лопиталя

Т еорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Доказательство. Пусть f(x) и g(x) – бесконечно малые в точке x0. Для простоты будем предполагать, что f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 вместе со своими производными.

Применим к функциям f(x) и g(x) теорему Лагранжа на отрезке [x, x0].

где

Учитывая непрерывность производных, получаем (1).