8. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

8.1. Дифференциальное уравнение Лейбензона

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа в уравнение неразрывности подставляют выражения для компонент скорости фильтрации и плотности идеального газа.

Считая m=const, K=const, =const и , получим:

. (8.1)

Введем замену:

; ; .

Тогда уравнение (8.1) примет вид:

. (8.2)

Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа относительно P², поэтому уравнение (8.2) можно записать в виде:

(8.2’)

Полученное уравнение неустановившейся фильтрации газа (8.2) называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Оно справедливо для идеального газа при выполнении закона Дарси.

Уравнение (8.2) можно записать иначе, умножив левую и правую части на давление Р и введя замену :

. (8.3)

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция Р², но коэффициент в правой части - переменный, в него входит искомая функция Р(x,y,z,t).

Уравнения (8.2) и (8.3) не имеют точных аналитических решений даже в самых простых одномерных случаях. Точное решение уравнения Лейбензона дают численные методы.

8.2. Линеаризация уравнения Лейбензона и его основное решение

Уравнение (8.2) можно упростить, заменив его линейным, для которого существуют точные аналитические решения.

Если рассматривается плоскорадиальный приток газа к скважине, то, как уже отмечалось, воронка депрессии очень крутая и на большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Л.С.Лейбензон предложил заменить переменное давление Р в коэффициенте уравнения (8.3) на постоянное давление Р_к (начальное давление в пласте). После ввода обозначения

,

получим:

. (8.4)

Это уравнение является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции Р².

И.А.Чарный предложил свести уравнение (8.3) к линейному, заменив переменное давление Р в коэффициенте на Р_ср:

,

где Р_max и Р_min – максимальное и минимальное давление в газовой залежи за расчетный период.

Для плоскорадиальной фильтрации линеаризованное уравнение Лейбензона (8.4) запишется в виде:

. (8.5)

Чтобы вывести формулу распределения давления, уравнение (8.5) необходимо проинтегрировать при условиях:

начальное - при t=0, 0 r=, t>0 ;<r< ;

граничные - при r=, t>0 ;

- на стенке газовой скважины.

Математическая постановка задачи о неустановившемся притоке газа к скважине аналогична постановке задачи об отборе упругой жидкости. Проведем сопоставление:

Упругая жидкость		Идеальный газ
	-
при t=0	-	при t=0
при r=, t>0	-	при r=, t>0
при r=0	-	при r=0

Следовательно, для упругой жидкости и идеального газа характерна аналогия следующих показателей:

Упругая жидкость		Идеальный газ
давление Р	-	квадрат давления Р2
коэффициент пьезопроводности	-	коэффициент пьезопровод- ности
	-

Используя данную аналогию, можно получить формулу распределения давления в неустановившемся потоке газа, преобразуя основную формулу упругого режима фильтрации жидкости.

Итак, основная формула упругого режима:

.

Основная формула неустановившейся фильтрации идеального газа:

(8.6)

или

. (8.6’)

Для малых значений аргумента :

или

.

Графически распределение давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине можно представить в виде:

Погрешность решения, которое дает линеаризация уравнения Лейбензона, по сравнению с численными методами составляет доли процента, поэтому оно может считаться точным.