2. Сетевая модель задачи и ее решение.

Изобразим моменты в виде вершин графа, а пары в виде ориентированных дуг этого графа (основные понятия теории графов и терминология приведены в Приложении). Проставим на дугах соответствующие стоимости аренды и будем считать их длинами этих дуг. Тогда произвольный план можно представить как путь из вершины 1 в вершину , а стоимость плана – длиной этого пути. Наоборот, каждый путь указанного вида является планом аренды. Оптимальным планом аренды будет кратчайший путь из 1 в . Таким образом, задача об аренде оборудования является частным случаем известной задачи о нахождении кратчайшего пути (маршрута) [1-4].

Полученный граф (сеть) с заданными числами – стоимостями на дугах называется сетевой моделью задачи об аренде оборудования, а нахождение оптимального плана (оптимальных планов) аренды как кратчайшего пути на этой сети – решением на сетевой модели.

Найдём путь методом потенциалов [2, 4] для бесконтурных сетей.

На 1-м этапе находим потенциалы — числа для каждой вершины , означающие кратчайшие расстояния от вершины до конечной вершины . Потенциалы найдем, начиная с последней и далее по убыванию номеров вершин по формуле

; ,

минимум берётся по всем дугам , выходящим из вершины .

На втором этапе, начиная с вершины , находятся и выделяются те дуги , на которых потенциал начала дуги в точности равен сумме потенциала конца дуги и стоимости дуги . Выделенные таким образом дуги дают кратчайший путь (пути), то есть оптимальные планы аренды. Потенциал начальной вершины будет равен длине кратчайшего пути, то есть стоимости оптимального плана аренды.

Пример 2. . Пусть при стоимости аренды заданы в таблице:

j i	2	3	4	5	6	7
1	49	99	145	197	244	296
2	–	50	96	146	198	247
3	–	–	48	95	147	189
4	–	–	–	49	98	148
5	–	–	–	–	51	101
6	–	–	–	–	–	53

Составим сетевую модель:

Определим потенциал каждого месяца:

V₇ = 0 V₆ = C_6,7+V₇ = 53

V₅ = min (C_5,6+V₆;C_5,7 +V₇) = min (51+53;101) = C_5,7+V₇ = 101

V₄ = min (C_4,5+V₅;C_4,6+V₆;C_4,7+V₇) = min (49+101;98+53;148) = C_4,7+V₇ = 148

V₃ = min (C_3,4+V₄;C_3,5+V₅;C_3,6+V₆;C_3,7+V₇) = min (48+148;95+101;147+53;189) = C_3,7 +V₇= 189

V₂ = min (C_2,3+V₃;C_2,4+V₄;C_2,5+V₅;C_2,6+V₆;C_2,7+V₇) = min (50+189; 96+148; 146+101; 198+53; 247) = C_2,3 + V₃ = 239

V₁ = min (C_1,2+V₂;C_1,3+V₃;C_1,4+V₄;C_1,5+V₅;C_1,6+V₆;C_1,7+V₇) = min (49+239; 99+189; 145+148; 197+101; 244+53; 296) = C_1,2 + V₂ или С_1,3 + V₃ = 288.

Получаем сеть следующего вида:

Найдем оптимальный план аренды оборудования.

Начиная с первого месяца, будем выделять пунктиром дуги, на которых потенциал начала дуги в точности равен сумме потенциала конца дуги и стоимости дуги , то есть те, которые позволяют получить наименьший потенциал в данном месяце. Получаем окончательную сеть следующего вида:

Анализируя полученную модель, можно сделать вывод, что существует два оптимальных плана аренды:

a) (1, 2, 3,7) = 1мес. + 1 мес. + 4 мес. и

b) (1, 3, 7) = 2 мес. + 4 мес. со стоимостью C_min = V₁ =288.