1. Планы аренды. Постановка задачи.

Некоторая фирма (пункт проката) предоставляет в аренду ценное оборудование. Предположим, что другая фирма планирует иметь это оборудование в течение времени и может брать в аренду (оформлять аренду) в определенные моменты где Таким образом, имеются отрезков времени , в начале которых можно брать оборудование в аренду (в другой трактовке – покупать новое оборудование), пользоваться им в течение некоторого целого числа отрезков, а в конце какого-либо отрезка возвращать (в другой трактовке – списывать). Отрезками времени могут быть месяцы, дни, недели, часы и т.п., причем один отрезок может состоять, например, из двух недель, другой – из целого квартала, третий – из четырех дней и так далее. В дальнейшем отрезки для определенности будем называть месяцами , а момент начала отрезка (начала – го месяца) будем обозначать просто через i . Таким образом, в аренду оборудование можно брать в моменты и возвращать в моменты .

Планом аренды называется последовательность очередных моментов оформления аренды (и возврата оборудования). В наших обозначениях – это возрастающая последовательность натуральных чисел . Общее количество планов аренды на месяцев совпадает с числом всех подмножеств и равно .

Примеры планов аренды:

1. (1,2,3,…,7) - план аренды на 6 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 6 раз – каждый раз на 1 месяц;

2. (1, 3, 5, 7) - план аренды на 6 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 3 раза – каждый раз на 2 месяца;

3. (1, 3, 7) - план аренды на 6 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 2 раза – первый раз на 2=3-1 месяца (первый и второй), второй раз на 4 месяца (третий, четвертый, пятый и шестой);

4. (1, 15) план аренды на 14 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 1 раз – с начала 1-го месяца на весь срок – до конца 14 -го месяца.

Предположим теперь, что фирма, предлагающая оборудование в аренду, установила заранее значения арендной платы (стоимости аренды) на все возможные отрезки времени. Пусть – стоимости аренды от начала - го месяца до начала -го месяца в некоторых единицах (у.е.), где . Тогда несложно видеть, что число является суммарной арендной платой за весь период , то есть стоимостью плана аренды.

Простейшая задача об аренде (замене) оборудования состоит в нахождении при заданной таблице стоимостей аренды самого дешевого (самых дешевых, если их несколько) плана аренды, то есть оптимального плана аренды.

Пример. Пусть при стоимости аренды заданы в таблице

j i	2	3	4
1	4	9	15
2	–	6	10
3	–	–	6

Из 4 планов аренды

1) (1,2,3,4), С=4+6+6=16;

2) (1,2,4), С=4+10=14;

3) (1,3,4), С=9+6=15;

4) (1,4), С=15

план (1,2,4), то есть план "взять в аренду на 1мес. + 2 мес." является оптимальным планом со стоимостью С^min =14 у.е.