Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / 18

18. Закон Ома для участка цепи.

Закон Ома для однородного участка цепи. Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U):

где R — электрическое сопротивление проводника.

Единицей сопротивления служит ом (Ом).

Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, от его материала и температуры, а также — это следует по­мнить — от конфигурации (распределения) тока по проводни­ку. В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомне­ний. В более общем случае объемного распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или распо­ложение подводящих к интересующему нас проводнику прово­дов, или конфигурация тока.

В простейшем случае однородного цилиндрического провод­ника сопротивление

(1)

где — длина проводника; — площадь его поперечного сече­ния; — удельное электрическое сопротивление. Последнее зависит от материала проводника и его температуры. Выража­ют в ом-метрах (Ом∙м).

Значения удельного электрического сопротивления для наи­более хороших проводников (медь, алюминий) составляют при комнатной температуре несколько единиц на Ом∙м.

Закон Ома в локальной форме. Найдем связь между плотно­стью тока и полем в одной и той же точке проводящей сре­ды. Ограничимся случаем изотропного проводника, в котором направления векторов и совпадают.

Выделим мысленно в окрестности некоторой точки прово­дящей среды элементарный цилиндрический объем с образую­щими, параллельными вектору , а значит, и вектору . Если поперечное сечение цилиндра , а его длина , то на основа­нии (5.8) и (5.9) можно записать для такого элементарного цилиндра

и после соответствующих сокращений получим, уже в вектор­ном виде,

где — удельная электропроводимость среды. Едини­цу, обратную ому, называют сименсом (См), поэтому единицей ст является сименс на метр (См/м).

Закон Ома для неоднородного участка цепи. Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы.

Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна S, при­чем S может быть и не одинаковой по длине провода.

Разделим уравнение на , полученное выражение ум­ножим скалярно на элемент оси провода , взятый по направ­лению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положитель­ное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2:

(3)

Преобразуем подынтегральное выражение у первого интег­рала: заменим на и на , где — проекция вектора на направление вектора . Далее учтем, что — величина ал­гебраическая; она зависит от того, как направлен вектор по отношению к : если , то , если же , то . И последнее, заменим на , где — сила тока, величина тоже алгебраическая (как и ). Поскольку для постоянного тока одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла. В результате получим

Выражение определяет не что иное, как сопротивле­ние участка цепи длиной , а интеграл от этого выражения — полное сопротивление R участка цепи между сечениями 1 и 2.

Теперь обратимся к правой части (3). Первый интеграл здесь — это разность потенциалов , а второй интеграл представляет собой электродвижущую силу (э.д.с.) , действующую на данном участке цепи:

Эта величина, как и сила тока , является алгебраической: если э.д.с. способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то , если же препятству­ет, то .

После всех указанных преобразований уравнение (3) бу­дет иметь следующий вид:

где положительным считается направление от точ­ки 1 к точке 2.