Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / 3

3. Связь напряжённости электрического поля и потенциала. Циркуляция вектора напряжённости.

Связь напряжённости электрического поля и потенциала. Электрическое поле полностью описывается векторной функцией . Зная ее, можно найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и др. А зная потенциал данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле .

Связь между и можно установить с помощью уравнения . Пусть перемещение параллельно оси X, тогда , где — орт оси X, dx — приращение координаты х,

,

где — проекция вектора на орт (а не на перемещение ). Сопоставив последнее выражение с формулой , получим

,

где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать только по х, считая у и z при этом постоянными.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций и . А определив ,, легко найти и сам вектор :

Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала (). Тогда . Это и есть формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию .

Циркуляция вектора напряжённости. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является потенциальным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении равна , а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как _. Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.

Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю. Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора и обозначают .

Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т.е. _. Это утверждение и называют теоремой о циркуляции вектора .

Для доказательства этой Th разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2b1 (рисунок). Так как линейный интеграл — обозначим его — не зависит от пути между точками 1 и 2, то . С другой стороны, ясно, что , где интеграл по тому же участку , но в обратном направлении. Поэтому . Доказали.