Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / 2

2. Потенциал. Потенциальная энергия заряда в поле.

Потенциал. До сих пор мы рассматривали описание элект­рического поля с помощью вектора . Существует, однако, и другой адекватный способ описания — с помощью потенциала (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом су­щественных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл , представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положите­льного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат , убыль которой

(1)

где и — значения функции в точках 1 и 2. Так опреде­ленная величина называется потенциалом поля. Из сопо­ставления выражения (1) с выражением для работы сил по­тенциального поля (которая равна убыли потенциальной энер­гии частицы в поле) можно сказать, что потенциал — это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение . Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1) однозначно. Если изменить ф₀ на некоторую величину , то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоян­ной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей потенциала является вольт (В).

Потенциальная энергия заряда в поле. Формула (1) содержит не только определение потенциала , но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл по любому пути между двумя точками и представить затем по­лученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть . Можно поступить и проще. Воспользуемся тем, что формула (1) справедлива не только для конечных перемеще­ний, но и для элементарных . Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть

Другими словами, если известно поле , то для нахожде­ния надо представить (путем соответствующих преобра­зований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть .

Найдем таким способом потенциал поля неподвижного то­чечного заряда:

где учтено, что , ибо проекция вектора на век­тор , а значит, и на равна приращению модуля вектора , т. е. . Величина, стоящая в круглых скобках под знаком диф­ференциала, и есть . Так как присутствующая здесь адди­тивная константа никакой физической роли не играет, ее обыч­но опускают, стремясь выражение для сделать проще. Таким образом, потенциал поля точечного заряда

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы озна­чает, что мы условно полагаем потенциал на бесконечности равным нулю.