Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / 7

7. Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля.

Th Гаусса. Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно (*).

где кружок у интеграла означает, что интегрирование прово­дится по замкнутой поверхности.

Это выражение и составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на .

Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим поле одного точечного заряда q. Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис) и найдем поток вектора сквозь элемент dS: (**)

где — телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS, с вершиной в точке расположения заряда q. Интегрирование этого выражения по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу, т. е. замене на , и мы получим .

При более сложной форме замкнутой поверхности углы могут быть больше , а значит, и в (**) принимают, вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения. Итак, — величина алгебраическая: если опирается на внутреннюю сторону поверхности S, то , если же на внешнюю сторону, то .

Отсюда, в частности, следует: если заряд q расположен вне замкнутой поверхности S, то поток вектора через нее равен нулю. Для этого достаточно провести из заряда q коническую поверхность так, чтобы она оказалась касательной к замкнутой поверхности S. Тогда интегрирование выражения (**) по поверхности S эквивалентно интегрированию по (рис): внешняя сторона поверхности S будет видна из точки q под углом , а внутренняя под углом - (оба угла по модулю равны). В сумме получим нуль, и , что также совпадает с утверждением (*). На языке линий вектора это означает, что сколько линий входит в объем, ограниченный поверхностью S, столько и выходит.

Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается системой точечных зарядов , и т. д. В этом случае согласно принципу суперпозиции , где — поле, создаваемое зарядом и т. д. Тогда поток вектора можно за­писать так:

Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части равен , если заряд находится внутри замкнутой поверхности S, и нулю, если снаружи поверхности S. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, ко­торые находятся внутри поверхности S.

Для завершения доказательства теоремы остается учесть случай, когда заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем содержит «точечный» заряд . Тогда в правой части (*)

где интегрирование проводится только по объему, заключенно­му внутри замкнутой поверхности S.

Необходимо обратить внимание на следующее важное обсто­ятельство: в то время как само поле зависит от конфигурации всех зарядов, поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммой за­рядов внутри поверхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле изменится всюду, в частности, и на поверхности S; изменится, вообще говоря, и поток вектора через S. Однако если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности S, поток вектора через эту поверхность останется прежним, хотя, повторяем, само поле может измениться, причем весьма существенно.