Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / 11

11. Условия на границе двух диэлектриков.

Рассмотрим поведение векторов и на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух Th: Th о циркуляции вектора и Th Гаусса для вектора : ,

Условие для вектора . Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно , а в диэлектрике 2 — . Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур. Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно Th о циркуляции вектора : . Если на нижнем участке контура проекцию вектора взять на общий орт , то и из предыдущего уравнения следует, что: (не претерпевает скачка).

Условие для вектора . Возьмем очень малой высоты цилиндр. Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор был одинаков. Тогда согласно Th Гаусса для вектора : , где — поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора на общую нормаль , получим и предыдущее ур-е можно привести к виду : . Отсюда видно, что , вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (), то . В этом случае скачка не испытывают. Т.о. если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие и не изменяются, а и – претерпевают скачок.

Преломление линий и . Найдем соотношение между углами и . Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то , . Из рисунка следует, что Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон преломления линий , а значит, и линий :

Условие на границе проводник — диэлектрик. Пусть среда 1 — проводник, а среда 2 — диэлектрик. В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника , значит, и поляризованность . Откуда , следовательно внутри проводника, т.е. в обозначениях формулы и . Остается ( — внешняя по отношению к проводнику нормаль). Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности (для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов ). Применим Th Гаусса к вектору Е, имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды ( и ), придем к следующему выражению: . С другой стороны, . Из этих двух уравнений находим: , откуда . Видно, что поверхностная плотность связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.