Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / !full

22. (2 из 2) Магнит. поле точечного заряда. Закон Био-Савара.

22. (2 из 2) Магнит. поле точечного заряда. Закон Био-Савара.

Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт по­казывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения эксперименталь­ных данных был получен элементарный закон, определяющий поле точечного заряда , движущегося с постоянной нереля­тивистской скоростью . Этот закон записывается в виде

(1)

где — магнитная постоянная; коэффициент ; — радиус-вектор, проведенный от заря­да к точке наблюдения. Конец радиу­са-вектора неподвижен в данной систе­ме отсчета, а его начало движется со ско­ростью (рисунок), поэтому вектор данной системе отсчета зависит не толь­ко от положения точки наблюдения, но и от времени.

В соответствии с формулой (1) вектор направлен перпен­дикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , причем вращение вокруг вектора в направлении вектора об­разует с направлением правовинтовую систему (рисунок). От­метим, что вектор является аксиальным (псевдовектором). Величину называют магнитной индукцией.

Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).

Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере­лятивистской скоростью, описывается тем же законом . Поэтому выражение (1) можно представить как

где с — электродинамическая постоянная (), она равна

скорости света в вакууме (совпадение, как потом выясни­лось, не случайное).

Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении маг­нитного поля, создаваемого постоянными электрическими то­ками. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (1), опре­деляющего индукцию поля равномерно движущегося точеч­ного заряда. Подставим в (1) вместо заряд , где — элементарный объем, — объемная плотность заряда, являю­щегося носителем тока, и учтем, что согласно (5.2). Тогда формула (1) приобретет следующий вид:

(2)

Если же ток течет по тонкому проводу с площадью попе­речного сечения , то

где dl — элемент длины провода. Введя вектор в направле­нии тока , перепишем предыдущее равенство так:

Векторы и называют соответственно объемным и ли­нейным элементами тока. Произведя в формуле (2) замену объемного элемента тока на линейный, получим

(3)

Формулы (2) и (3) выражают закон Био-Савара.

Полное поле в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (2) или (3) по всем элементам тока:

23. (1 из 1) Основные уравнения магнитостатики.

24. (1 из 1) Закон Ампера.

Теорема Гаусса для поля . Поток вектора сквозь лю­бую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постулативной форме тот эксперименталь­ный факт, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца.

Поэтому число линий вектора , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем по­льзоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток век­тора сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях векто­ра : так как они нигде не прерываются, их число сквозь по­верхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток век­тора ), действительно не должно зависеть от формы поверх­ности S.

Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля по­стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора по произ­вольному контуру Г равна произведению на алгебраиче­скую сумму токов, охватываемых контуром Г: (1)

где , причем — величины алгебраические. Ток счита­ется положительным, если его направление связано с направле­нием обхода по контуру правилом пра­вого винта. Ток противоположного на­правления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рисунке: здесь токи и положительные, ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток — отрицательный.

Закон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.

Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле, например), равна . Выделим мыс­ленно элемент объема проводника. В нем находится за­ряд — носитель тока, равный . Тогда сила, действующая на элемент проводника, может быть записана по формуле в виде

где — скорость упорядоченного движения зарядов.

Так как , то

(1)

Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.8) и

(2)

где — вектор, совпадающий по направлению с током и ха­рактеризующий элемент длины тонкого проводника.

Формулы (1) и (2) выражают закон Ампера.

25. (1 из 1) Сила Лоренца.

26. (1 из 1) Магнитное поле контура с током.

Сила Лоренца. Опыт показывает, что сила , действующая на точечный заряд , зависит в общем случае не только от поло­жения этого заряда, но и от его скорости . Соответственно это­му силу разделяют на две составляющие — электрическую (она не зависит от движения заряда) и магнитную (она зави­сит от скорости заряда). В любой точке пространства направле­ние и модуль магнитной силы зависят от скорости заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору ; кроме того, в любом месте магнитная сила перпендикулярна опреде­ленному в данном месте направлению и, наконец, ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпен­дикулярна этому выделенному направлению.

Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввес­ти понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором , определяющим выделенное в каждой точке пространства на­правление, запишем выражение для магнитной силы в виде

Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд :

Ее называют силой Лоренца. Последнее выражение является универсальным: оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей, причем при любых значениях скорости заряда. Заметим, что — это ско­рость заряда относительно интересующей нас системы отсчета.

Рассмотрим контур с током в виде окружности радиуса R. Определим магнитную индукцию поля в точке, лежащей на оси, проходящей через центр контура и отстоящей от контура на r.

Из соображений симметрии заключаем, что результирующий B направлен вдоль оси, т.е. надо складывать только . Также

, Также . Проинтегрируем:

- магнитный момент, тогда

. Эта формула определяет модуль В, его вектор

При r=0 (в центре окружности):

При r=бесконечности:

27. (1 из 2) Работа над контуром с током в магнитном поле.

27. (2 из 2) Работа над контуром с током в магнитном поле.

Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать, что оно постоянное, — на отде­льные элементы контура действуют амперовы силы, а поэтому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с то­ком , определяется как

(1)

где — приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.

Доказательство этой формулы проведем в три этапа.

1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рисунок) с подвижной перемычкой длины находится в однородном маг­нитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направ­ленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно действует амперова сила . При перемещении перемычки вправо на эта сила совершает положительную работу

(2)

где — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнитного потока условимся всегда брать нормаль к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (рисунок). При этом ток будет все­гда величиной положительной. Поток же может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем слу­чае как , так и являются величинами положительными (если бы поле было направлено на нас или перемычка перемещалась бы влево, то в обоих слу­чаях ). Как бы то ни было, в любом из этих случаев вы­ражение (2) можно представить в виде (1).

2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля . Чтобы убедиться в этом, разложим вектор на три составляющие: . Составляющая —вдоль перемычки —

параллельна току в ней и поэтому не ока­зывает на перемычку силового действия. Составляющая — вдоль перемещения — дает силу, перпендикулярную переме­щению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая — перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле (2) вместо надо брать толь­ко . Но , и мы опять приходим к формуле (1).

3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при про­извольном перемещении его в постоянном неоднородном маг­нитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобьем мысленно данный контур на бес­конечно малые элементы тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однород­ным. Для такого перемещения к каждому элементу тока при­менимо, выражение для элементарной работы, где под надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные ра­боты для всех элементов контура, снова получим выражение (1) где есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.

Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемеще­нии контура с током от начального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (1):

Если при этом перемещении поддерживать ток постоянным, то

(3)

где и — магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях. Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение маг­нитного потока сквозь контур. Выражение (3) дает не толь­ко величину, но и знак совершаемой работы.

28. (1 из 1) Энергия контура с током а магнитном поле.

29. (1 из 1) Сила, действующая на контур с током в магнитном поле.

Вращающий момент действующий на плоский контур в магнитном поле

Для того, чтобы увеличить угол между векторами магнитного момента и индукции, нужно совершить работу, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии:

Интегрируя, находим

Найденная величина представляет собой не полную потенциальную энергию контура с током, а лишь ту её часть, которая обусловлена существованием вращающего момента.

На элемент контура действует сила

Результирующая таких сил равна

В случае однородного поля

Однако, на контур действует вращающий момент

(одинаковый относительно любой точки)

Из рисунка получаем

В неоднородном магнитном поле на контур действует сила, затягивающая в поле, если контур ориентирован по полю, и выталкивающая, если контур ориентирован против поля.

Проекция этой силы может быть найдена как

, где α -угол между

Разумеется в неоднородном магнитном поле на контур также действует вращающий момент.

ИЛИ

Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле .

Если магнитное поле однородно, то можем вынести, надо вычислить лишь , который представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов , поэтому он равен нулю, следовательно .

Магнитное поле неоднородно, т.к. . Сила, действующая на электрический контур с током в неоднородном магнитном поле:

30. (1 из 1) Намагниченность магнетика.

31. (1 из 1) Циркуляция напряжённости магнитного поля.

Степень намагничения магнетика харак­теризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченностью и обозначают . По определению

где — физически бесконечномалый объем в окрестности данной точки, — магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в объеме .

Намагниченность можно представить как

где — концентрация молекул; — средний магнитный мо­мент одной молекулы. Из последней формулы видно, что век­тор сонаправлен именно со средним вектором , поэтому в дальнейшем достаточно знать поведение вектора и пред­ставлять себе все молекулы в пределах объема имеющими одинаковый магнитный момент . Это будет значительно облегчать понимание вопросов, связанных с явлением намагни­чивания. Например, увеличение намагниченности вещества означает соответствующее увеличение вектора : если , то и .

Если во всех точках вещества вектор одинаков, говорят, что вещество намагничено однородно.

Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля по­стоянных токов). В магнетиках, помещенных во внешнее маг­нитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому цирку­ляция вектора теперь будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания, а именно:

(1)

где и — токи проводимости и намагничивания, охватывае­мые заданным контуром Г.

Ввиду того что определение токов в общем случае задача сложная, формула (1) становится малопригодной в практиче­ском отношении. Оказывается, однако, можно найти некото­рый вспомогательный вектор, циркуляция которого будет определяться только токами проводимости, охватываемыми контуром Г. Действительно, мы уже знаем, что с током свя­зана циркуляция намагниченности: (2)

Предполагая, что циркуляция векторов и берется по одно­му и тому же контуру Г, выразим в уравнении (1) по фор­муле (2), тогда:

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают бук­вой .

Итак, мы нашли некоторый вспомогательный вектор :

циркуляция которого по произвольному контуру Г равна алгеб­раической сумме токов проводимости , охватываемых этим контуром:

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора : циркуляция вектора по произвольному замкнутому кон­туру равна алгебраической сумме токов проводимости, ох­ватываемых этим контуром.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора :