Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / !full

1. (1 из 1)Закон Кулона. Принцип суперпозиции полей.

2. (1 из 2) Потенциальная энергия заряда в поле. Потенциал.

Закон Кулона. Из опыта непосред­ственно следует, что напряженность поля неподвижного точеч­ного заряда q на расстоянии от него можно предста­вить как (*)

где — электрическая постоянная; — орт радиуса-вектора , проведен­ного из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Формула (*) записана в СИ. Здесь коэффициент

заряд q определяют в кулонах (Кл), напряженность поля — в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q век­тор направлен так же, как и , или противоположно ему. По существу формула (*) выражает не что иное, как закон Кулона, но в «полевой» форме. Весьма важно, что напряжен­ность поля точечного заряда обратно пропорциональна квад­рату расстоя­ния . Вся совокупность экспериментальных фак­тов показывает, что этот за­кон справедлив для расстояний от см до нескольких километров, и пока нет никаких осно­ваний ожидать, что этот закон не выполняется и при боль­ших расстояниях.

Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точеч­ным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, покоится пробный заряд или движется. Это относится и к системе неподвижных зарядов.

Принцип суперпозиции. Напряженность поля системы точечных непод­вижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые соз­давали бы каждый из зарядов в отдельности:

где — расстояние между зарядом и интересующей нас точ­кой поля.

Это утверждение называют принципом суперпозиции (нало­жения) электри­ческих полей. Он выражает одно из самых за­мечательных свойств полей и по­зволяет вычислять напряжен­ность поля любой системы зарядов, представив ее в виде сово­купности точечных зарядов, вклад каждого из которых дается формулой (*).

Потенциал. До сих пор мы рассматривали описание элект­рического поля с помощью вектора . Существует, однако, и другой адекватный способ описания — с помощью потенциала (заметим сразу, что оба эти способа одно­значно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обла­дает рядом су­щественных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл , представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положите­льного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат , убыль которой

(1)

где и — значения функции в точках 1 и 2. Так опреде­ленная вели­чина называется потенциалом поля. Из сопо­ставления выражения (1) с выражением для работы сил по­тенциального поля (которая равна убыли по­тенциальной энер­гии частицы в поле) можно сказать, что потенциал — это ве­личина, численно равная потенциальной энергии единичного положитель­ного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение . Тогда потенциалы всех других точек поля опре­деляются согласно (1) однозначно. Если изменить ф₀ на некоторую вели­чину , то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоян­ной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей потенциала является вольт (В).

2. (2 из 2) Потенциальная энергия заряда в поле. Потенциал.

3. (1 из 2) Связь напряжённости электрического поля и потенциала. Циркуляция вектора напряжённости.

Потенциальная энергия заряда в поле. Формула (1) содержит не только определение потенциала , но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл по любому пути между двумя точками и представить затем по­лученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть . Можно поступить и проще. Воспользуемся тем, что формула (1) справедлива не только для конечных перемеще­ний, но и для элементарных . Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть

Другими словами, если известно поле , то для нахожде­ния надо представить (путем соответствующих преобра­зований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть .

Найдем таким способом потенциал поля неподвижного то­чечного заряда:

где учтено, что , ибо проекция вектора на век­тор , а значит, и на равна приращению модуля вектора , т. е. . Величина, стоящая в круглых скобках под знаком диф­ференциала, и есть . Так как присутствующая здесь адди­тивная константа никакой физической роли не играет, ее обыч­но опускают, стремясь выражение для сделать проще. Таким образом, потенциал поля точечного заряда

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы озна­чает, что мы условно полагаем потенциал на бесконечности равным нулю.

Связь напряжённости электрического поля и потенциала. Электрическое поле полностью описывается векторной функцией . Зная ее, можно найти силу, действующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и др. А зная потенциал данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле .

Связь между и можно установить с помощью уравнения . Пусть перемещение параллельно оси X, тогда , где — орт оси X, dx — приращение координаты х,

,

где — проекция вектора на орт (а не на перемещение ). Сопоставив последнее выражение с формулой , получим

,

где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать только по х, считая у и z при этом постоянными.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций и . А определив ,, легко найти и сам вектор :

Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала (). Тогда . Это и есть формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию .

Циркуляция вектора напряжённости. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является потенциальным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает

3. (2 из 2) Связь напряжённости электрического поля и потенциала. Циркуляция вектора напряжённости

4. (1 из 2) Поле электрического диполя.

электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля в точку 2, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении равна , а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как _. Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.

Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю. Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора и обозначают .

Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т.е. _. Это утверждение и называют теоремой о циркуляции вектора .

Для доказательства этой Th разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2b1 (рисунок). Так как линейный интеграл — обозначим его — не зависит от пути между точками 1 и 2, то . С другой стороны, ясно, что , где интеграл по тому же участку , но в обратном направлении. Поэтому . Доказали.

Электрический диполь — это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов +q и -q, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Ког­да говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точеч­ным, т. е. считают расстояния от диполя до интересующих нас точек поля значительно больше .

Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же и вектор Е лежит в этой плоскости.

Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напря­женность. Согласно потенциал поля диполя в точке Р определяется как

Так как , то и , где — расстояние от точки Р до диполя (он точеч-

ный!). С учетом этого

где — электрический момент диполя. Этой величине сопоставляют вектор, направленный по оси диполя от отрица­тельного заряда к

4. (2 из 2) Поле электрического диполя.

5. (1 из 2) Сила, действующая на диполь в неоднородном поле.

положительному:

,

где q > О и — вектор, направленный в ту же сторону, что и .

Из формулы (1.34) видно, что поле диполя зависит от его электрического момента . Как мы увидим далее, и поведение диполя во внешнем поле также зависит от . Следовательно, является важной характеристикой диполя.

Следует также обратить внимание на то, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда ( вместо ).

Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой , вычислив с помощью нее проекции вектора Е на два вза­имно перпендикулярных направления — вдоль ортов и :

Отсюда модуль вектора

В частности, при и мы получим выражения для напряженности поля соответственно на оси диполя () и пер­пендикулярно ей ():

т. е. при одном и том же напряженность вдвое больше

Поместим диполь во внешнее неоднородное электрическое поле. Пусть Е₊ и Е_ — напряжен­ности внешнего поля в точках, где расположены положитель­ный и отрицательный заряды диполя. Тогда результирующая сила F, действующая на диполь, равна:

Разность Е₊ - Е_ — это приращение АЕ вектора Е на отрезке, равном длине диполя I, в направлении вектора 1. Вследствие малости этого отрезка можно записать

После подстановки этого выражения в формулу для F полу­чим, что сила, действующая на диполь:

где р = ql — электрический момент диполя. Входящую в это выражение производную принято называть производной вектора по направлению. Знак частной производной подчеркивает, что эта производная берется по определенному направлению — направлению, совпадающему с вектором или .

Простота формулы , к сожалению, обманчива: произ­водная является довольно сложной математической опе­рацией. Мы не будем останавливаться на этом более подробно, а обратим внимание на существо полученного результата. Прежде всего отметим, что в однородном поле , поэто­му и . Значит, сила действует на диполь, вообще говоря, только в неоднородном поле. Далее, направление вектора в общем случае не совпадает ни с вектором , ни с вектором . Вектор совпадает по направлению лишь с элементарным при­ращением вектора , взятым в направлении вектора или .

5. (2 из 2) Сила, действующая на диполь в неоднородном поле.

6. (1 из 1) Дипольный момент системы зарядов.

На рисунке показаны направления силы , действующей на диполь в поле положительного точечного заряда q, при трех разных расположениях ди­поля. Убедиться самостоятельно, что это дей­ствительно так.

Если нас интересует проекция силы на некоторое направление X, то достаточно запи­сать равенство в проекциях на это на­ правление, и мы получим

где — производная соответствующей проекции вектора опять же по направлению вектора или .

Пусть диполь с моментом располо­жен вдоль оси симметрии некоторого не­однородного поля . Возьмем положите­льное направление оси X, например, как показано на рисунке. Так как в направ­лении вектора приращение проекции будет отрицательным, то , а зна­чит, вектор направлен влево — в сторону, где напряженность поля больше.

Если же вектор на этом рисунке повернуть на 90° так, чтобы центр диполя совпадал с осью симмет­рии поля, то нетрудно сообразить, что в таком положении про­екция .

Рассмотрим, как ве­дет себя электрический диполь во внешнем электрическом поле . Как видно из рисунка, силы, дей­ствующие на положительный и от­рицательный заряды диполя, обра­зуют пару

плечо которой равно , т. е. за­висит от ориентации диполя относительно поля . Модуль каж­дой из этих сил равен qE, и на диполь будет действовать меха­нический момент N, определяемый, как мы знаем, произведе­нием qE на плечо пары, т. е.

где — электрический момент диполя.

Полученную формулу можно представить в векторном виде как

Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент установился по направлению внешне­го поля . Такое положение диполя является устойчивым.

В неоднородном электрическом поле диполь будет вести себя следующим образом: под действием момента сил диполь будет стремиться установиться по полю , а под действием результирующей силы - переместиться в направлении, где по модулю больше. Оба движения будут совершаться од­новременно.