Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / 10

10. Теорема Гаусса для индукции электрического поля.

Теорема Гаусса для поля вектора . Поскольку источника­ми поля являются все электрические заряды — сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля можно записать так:

(1)

где и — сторонние и связанные заряды, охватываемые по­верхностью S. Появление связанных зарядов усложняет дело, и формула (1) оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» сим­метрии. Действительно, эта формула выражает свойства неиз­вестного поля через связанные заряды , которые в свою оче­редь определяются неизвестным полем .

Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить за­ряд q' через поток вектора по формуле . Тогда выражение (1) можно преобразовать к такому виду:

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой . Итак, мы нашли вспомогательный вектор :

(2)

поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватывае­мых этой поверхностью:

(3)

Это и есть теорема Гаусса для поля вектора .

Заметим, что вектор представляет собой сумму двух совер­шенно различных величин: и . Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако свойство поля вектора , выража­емое уравнением (3.18), оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэ­лектриках.

Соотношения (2) и (3) справедливы для любого диэ­лектрика, как изотропного, так и анизотропного.

Как видно из выражения (2), размерность вектора та же, что и вектора . Единицей величины служит кулон на квадратный метр (Кл/м²).