Шпоры по Электричеству и магнетизму / Новая папка (3) / Физика / 16

16. Плотность тока. Уравнение непрерывности.

Плотность тока. Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят век­тор плотности тока . Модуль этого вектора численно равен от­ношению силы тока через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движе­ния носителей, к ее площади . За направление вектора принимают направление вектора скорости упорядо­ченного движения положительных носителей (или направле­ние, противоположное направлению вектора скорости упорядо­ченного движения отрицательных носителей). Если носителя­ми являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой

где и — объемные плотности положительного и отрицате­льного зарядов-носителей; и — скорости их упорядочен­ного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны ( и ), плотность тока

Поле вектора можно изобразить графически с помощью ли­ний тока (линий вектора ), которые проводят так же, как и ли­нии вектора .

Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности S, можно найти и силу тока через эту поверх­ность как поток вектора :

Сила тока является величиной скалярной и алгебраиче­ской. Ее знак определяется, кро­ме всего прочего, выбором направления нормали в каждой точ­ке поверхности S, т. е. выбором направления векторов . При изменении направления всех векторов на противоположное величина меняет знак.

Уравнение непрерывности. Представим себе в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовате­льно, и векторы принято брать наружу, поэтому интеграл дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объ­ема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохране­ния заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V:

Это соотношение называют уравнением непрерывности. Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда.

В случае стационарного (постоянного) тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т. е. в правой части dq/dt = 0. Следовательно, для постоянного тока

иначе говоря, линии вектора в этом случае нигде не начина­ются и нигде не заканчиваются. Мы говорим, что в случае по­стоянного тока поле вектора не имеет источников.

Дифференциальная форма уравнения непрерывности. Дивергенция вектора в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке:

Отсюда вытекает условие стационарности (когда ):

Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора не име­ет источников.