13. Оценка точности измерений. Погрешности: средняя квадратическая и предельная, абсолютная и относительная.

В результате многократных равноточных измерений получаемые значения измеряемой величины могут быть как больше, так и меньше ее истинного значения.

При установке критерия оценки точности измерений ставится условие его независимости от знаков отдельных погрешностей с учетом заметного отображения наибольшего из них. Таким требованиям удовлетворяет средняя квадратическая погрешность, предложенная Гауссом. где Δ₁, Δ₂, …, Δ_n – случайные погрешности измерений.

Формула дает точное значение средней квадратической погрешности при бесконечно большом числе n измерений. Оно носит название стандарт. При малом числе измерений вследствие случайного характера погрешностей Δ_i вычисленное по формуле значение m имеет свои погрешности. Приближенно среднюю квадратическую погрешность определения по формуле можно оценить по формуле

Формулой пользуются при исследовании точности геодезических приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины.

Доказано, что при нормальном распределении и достаточно большом числе измерений 68,3% всех случайных погрешностей по своему модулю не превышает средней квадратической погрешности m. Погрешности, превышающие 2m, встречаются редко, а больше 3m еще реже: 95,5% погрешностей по модулю меньше 2m и 99,7% погрешностей меньше 3m.

Утроенную среднюю квадратическую погрешность называют предельной погрешностью:Δ_пред.=3m

На практике во многих работах за предельную погрешность принимают 2m. Измерения, содержащие ошибки больше предельной погрешности бракуют.

Средняя квадратическая погрешность дает характеристику точности по абсолютной величине, выражается в единицах измеряемой величины и называется абсолютной погрешностью.

В практике геодезических измерений в качестве специальной характеристики точности используют относительные погрешности ­ отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине , где l ­ значение измеряемой величины.

Характеристики относительной точности выражаются в процентах или в относительных величинах. Их используют в случае, когда точность результата измерения зависит от величины объекта измерения. К таким измерениям относятся линейные измерения.

14. Средняя квадратическая погрешность функций вида .

15. Средняя квадратическая погрешность функций вида и .

16. Средняя квадратическая погрешность функций вида .

17. Арифметическая средина. Средняя квадратическая погрешность арифметической средины.

18. Понятие о неравноточных измерениях, общей арифметической средине и ее средней квадратической погрешности.

Неравноточными называют измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов, в различных условиях. Точность каждого из результатов измерений при неравноточных измерениях характеризуют своей среднеквадратической погрешностью. При обработке неравноточных измерений наряду со среднеквадратической погрешностью пользуются весом, вычисляемым по формуле P = c / m²

где с  произвольно выбранная постоянная.

Так, для ряда результатов измерений l₁, l₂, ..., l_n, полученных со средними квадратическими погрешностями m₁ , m₂ , ..., m_n имеем веса p₁ = c / m₁² , p₂ = c / m₂² , ..., p_n = c / m_n² Окончательное значение измеряемой величины находят как общую арифметическую середину (иначе - "весовое среднее") по формуле

Среднюю квадратическую погрешность одного измерения, имеющего вес, равный единице, определяют по формуле ,

где поправки вычисляются по формулам

Правильность вычислений контролируют по формуле

Среднюю квадратическую погрешность общей арифметической середины L₀ находят по формуле