Описание поверхности в форме Фергюсона

Пусть кривая l представлена уравнением:

Непрерывно движется в трехмерном пространстве в направлении и изменяет свою форму в процессе этого движения.

В результате получим поверхность представляющую собой каркас из l₁, l₂, l₃ … кривых.

Для вывода уравнения поверхности можно обобщить способ задания кривой путем установления зависимостей коэффициентов a₀, a₁, a₂, a₃ от второго параметра v.

Тогда уравнение поверхности будет:

Или в другом виде:

Описание поверхности методом Кунса

Пусть дан на прямоугольной области сетчатый каркас поверхности.

С етка кривых разбивает поверхность на совокупность ячеек, каждая из которых ограничена, параметрически представлена парой u – кривых и v – кривых.

Заданная ячейка поверхности находится в пределах:

и представляет собой исходную часть поверхности, ограниченную четырьмя исходными границами. Форрест предложил наглядную трактовку поверхности Кунса.

Данный алгоритм состоит в следующем:

Для задания ячейки поверхности решается в начале более простая задача (одна из пар кривых является линейчатой).

Тогда для этой поверхности функция имеет вид:

Аналогично построим для этого же элемента линейчатости поверхность, ограниченную параметрами.

Сумма r₁ и r₂ дает новую поверхность у которой граничные кривые будут являться уравнениями кривой и прямого отрезка.

Для восстановления начальных исходных граничных кривых необходимо из уравнения вычесть скалярную линейную поверхность, границами которой служат эти прямолинейные отрезки.

Тогда результирующая поверхность определяется как:

Объемные модели

При каркасном моделировании хотя оно и является объемным, мы не учитываем, что является телом, а что внутренностью.

Поэтому появляется термин – твердотельная модель.

Термин твердотельная модель говорит о том, что помимо свойств описания геометрии (очерков, каркасов) существуют признаки или свойства, разделяющие пространства на свободное и на сам геометрический объект.

В связи с тем, что описание свойства твердотельности математической модели может быть многообразными. Приведем только некоторые способы описания твердотельных моделей.

Дискретная модель

П ринцип построения дискретной модели заключается в том, что объект делится на элементарнее подпространства. Данному элементарному подпространству присваивается индекс, определяющий принадлежность или непринадлежность к телу.

Преимущества:

1. Разработан математический аппарат на основе булевой алгебры и математической логики.

2. Простота задания геометрического объекта.

Недостатки:

1. Геометрический объект задается дискретно, возникает вопрос математической модели о точности задания геометрического объекта по гладкости, по возможности построения нормали к геометрическому объекту.

2. Для данной модели существуют проблемы в уравнении и масштабировании геометрического объекта.

Эффект масштабирования - нельзя ни растянуть ни сжать, делаем от и до.