- •1 Определение системы действительных чисел
- •2 Огр и неогр мн-ва. Их точные грани.
- •3 Теорема о точных граней.
- •4 Понятие промежутка. Принцип вложенных отрезков.
- •5 Комплексные числа. Действия с ними (вкл. Извлеч. Корней) и их изображение.
- •6 Понятие последовательности и её предела.
- •8 Бесконеч малые послед-ти и их св-ва.
- •9 Арифм операции над сход послед-ми.
- •10 Пределы и нерав-ва. Принцип Сэндвича.
- •11 Теорема о пределе монотонной послед-ти.
- •12 Послед-ти, определяющие число е.
- •13 Подпослед-ти и предельные т-ки послед-тей.
- •14 Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •15 Фундаментальные послед-ти. Критерий Коши.
- •16 Определение экспонента числа. Основное тождество.
- •17 Определение пределов ф-ии в т-е. Понятие непрерывности ф-ии в т-е.
- •18 Эквивалентное определение предела ф-ии (её непрер-ть через послед-ть).
- •19 Теорема о пределе суммы, разности, пр-я, частного ф-ии.
- •22 Лемма о прохождении непрерыв функции через 0.
- •23 Теорема об огранич непрерывной ф-ии на отрезке.
- •24 Теорема о достиж-ии точных граней непрерывных ф-ий на отрезке.
- •25 Теорема о пределах монотонных ф-ий.
- •26 Теорема о промежуточных знач-ях и критерий непрерывности монотонных ф-ий на промежутках.
- •27 Теорема об обратной ф-ии.
- •28 Экспоненциальная ф-я и обратная к ней.
- •31 Эквивалентность ф-ий.
- •32 Понятие главной части ф-ии.
- •33 Понятие о малом и о большом. Правило действия с ними.
28 Экспоненциальная ф-я и обратная к ней.
y=expx=ex; expx=def=limx+∞(1+x/1!+...+xn/n!).
С1. expx1expx2=exp(x1+x2) - осн тождество;
С2. limxaexpx=expa - св-во непрерывности;
С3. limx0(expx-1)/x=1 - основной предел;
С4. limx+∞expx=+∞, limx-∞expx=0;
C5. y=expx - возр, имеет мн-во зн-ий промежуток (0,+∞).
Д. Т.к. при х>0 expx1+x>1, a expxexp(-x)=exp0=1, то ф-я y=expx принимает лишь положит зн-я. Если х1<x2, то expx2=exp(x2-x1+x1)=exp(x2-x1)expx1>expx1, что доказ возраст ф-ии. В силу критерия непрерыв монотон ф-ии мн-во зн-ий этой ф-ии есть промежуток, а т.к. этот промежуток содержит лишь полож числа (С4), этим промеж явл (0,+∞). Q.E.D.
Ф-я y=expx умеет обр ф-ю, опр на промеж (0,+∞) и явл на нём непрер и возр. Эту ф-ю наз логарифмической и обозн x=lny; т.о.: ln(expx)=x для xR, exp(lny)=y для y>0.
С1. ln(ab)=lna+lnb, ln(1/b)=-lnb, ln(a/b)=lna-lnb.
Д. lna+lnb=ln(exp(lna+lnb))=ln(exp(lna)exp(lnb))=ln(ab); 0=ln1=ln(1/bb)=ln(1/b)+lnb; lna=ln(a/bb)=ln(a/b)+lnb.
C2. а) limx+∞lnx=+∞, т.е. c>0d>0x(x>dlnx>c);
б) limx0+0lnx=-∞, т.е. c>0>0x(0<xlnx<-c).
Д. Взять d=ec и =e-c и прим возр ф-ии y=lnx.
29 Основное предельное соотношение для экспонента: limx0 (ex-1)/x=1 limx0 ln(1+x)/x=1.
30 Общее определение степени. Степенная и показательная ф-ии, предельные соотн-я для них: limx0 (ax-1)/x=lna; limx0 ((1+x)-1)/x=. Вывод предельного соотношения: limx0 (1+x)1/x=e (limx∞ (1+1/x)x=e).
31 Эквивалентность ф-ий.
limxx0(f(x)/g(x))=1 f(x)~g(x), при xx0.
f(x)~g(x), при xx0 g(x)~f(x), при xx0 f(x)=g(x)+o(g(x)), при xx0.
Отыскивая пределы произведений и отн-ий ф-ий, входящие в них сомножители можно заменять экв им ф-ми: lim((f(x)h(x))/g(x))=lim((f'(x)h(x))/g'(x)).
32 Понятие главной части ф-ии.
33 Понятие о малом и о большом. Правило действия с ними.