24 Теорема о достиж-ии точных граней непрерывных ф-ий на отрезке.

Теорема Вейерштрасса 2.

Если ф-я явл непрерыв на отр, то она достигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней грани.

Д. Достижимость точной верхней грани. По Т1 ф-я непрер на отр [a,b], огр на этом отрезке. В частности она огр сверху, а потому у мн-ва Y значений этой ф-ии на отр [a,b]  точн верхняя грань - y'R - со св-ом: x(x[a,b]f(x)y)0x(x[a,b]f(x)>y'-). Беря в этой ф-ле послед-но зн-я =1,1/2,1/3,... и обозначая х₁,х₂,х₃,... -е для этих зн-ий  точки х[a,b], получ послед-ть {x_n} точек отрезка [a,b] со св-ом: y'-1/n<f(x_n)y', nN. Т.к. послед-ть {x_n} явл огр, по Т Б-В у неё есть подпослед-ть {x_nk}, сход к не т x'[a,b]. Ввиду непрер-ти ф-ии на этом отрезке послед-ть {f(x_nk)} сход к числу f(x'), тогда как применение к нерав-вам y'-1/n<f(x_n)y', nN "принципа сэндвича" свидетельствует о том, что послед-ть {f(x_n)} сход к числу y'. Следует вывод : y'=limf(x_n)=limf(x_nk)=f(x'). Q.E.D.

25 Теорема о пределах монотонных ф-ий.

26 Теорема о промежуточных знач-ях и критерий непрерывности монотонных ф-ий на промежутках.

Теорема о промежуточных зн-ях.

Если ф-я непрерыв на промежутке, то мн-во её знач-ий так же явл промежуток.

Д. Пусть Y - мн-во зн-ий, принимаемых ф-ей на промежутке I. Надо док-ть, что каковы бы ни были числа у₁,у₂Y, у', промежуточное меж у₁ и у₂, принадл мн-ву Y. Промежутку I принадлежит отрезок с концевыми т-ми х₁ и х₂, а потому на этом отрезке ф-я y=f(x), а вместе с ней и ф-я y=f(x)-y', явл непрерывной. Применение ко 2-ой ф-ии (а она в т х₁ и х₂ прин зн-я y₁-y' и y₂-y' разн знаков) Т о прохождении непрерыв ф-ии через нуль позволяет заключить: меж т х₁ и х₂ (а  на I) есть т х', в  зн-е ф-ии y=f(x)-y' равно нулю, т.е. f(x')=y'. Q.E.D.

Критерий непрерывности монотонных ф-ий.

Для того чтобы ф-я, монотонная на промежутке, была на нём непрерывной, необх и достат, чтобы мн-во знач-ий этой ф-ии было промежутком.

Д. По предыд Т мн-во зн-ий  непрерыв ф-ии на промеж явл промеж, так что требуется лишь достатьчность усл-я. Пусть y=f(x) - неуб (для определённости) ф-я на промеж IR и пусть мн-во её зн-ий на это промежутке так же явл промежутком. "от противного". Пусть в не т промеж I не выполн хотябы одно из нерав-в f(c-0)=f(c)=f(c+0). С учётом того, что в силу Т о пределах неуб ф-ии в  т сI выполн соотн-я f(c-0)f(c)f(c+0), это будет означать, что либо f(c-0)<f(c), либо f(c)<f(c+0). Если продположить, что выполняется, напр, 1-е нерав-во, то для =(f(c)-f(c-0))/2>0 будет -ть такая левая окр-ть т с, для всех точек х -ой будут выполн-ся нерав-ва f(c-0)-<f(x)<f(c-0)+, а , и нерав-ва f(x)<(f(c)+f(c-0))/2<f(c). это означ, что ф-я не принимает зн-е (f(c)+f(c-0))/2, промежуточное между её зн-ми в т с и в т-ах промеж I, лежащих слева от т с, - противоречие.

27 Теорема об обратной ф-ии.

Если на промежутке IR ф-я y=f(x) явл непрерыв и строго монотонной, то на мн-ве Y зн-ий, принимаемых этой ф-ей на промеж I, определена обратная к y=f(x) ф-я x=f^-1(y), так же явл непрерыв и строго монотон.

Д. Пусть y=f(x) возраст (для опр-ти). Т.к. для yY !хХ, для  f(x)=y, на промеж Y опр-на обратная к y=f(x) ф-я x=f^-1(y), мн-вом зн-ий  служит промеж I. В силу предыд критерия для док-ва непрер ф-ии x=f^-1(y) на промеж-ке Y достаточно док-ть её монотонность (а именно возр) на указ промеж-ке, т.е. выполнение для y₁,y₂ Y, y₁<y₂, нерав-ва f^-1(y₁)<f^-1(y₂). Допустив, что f^-1(y₁)f^-1(y₂), приходят (с учётом возр ф-ии y=f(x) на исх промеж I) к противоречию: y₁=f(f^-1(y₁))f(f^-1(y₂))=y₂. Q.E.D.