19 Теорема о пределе суммы, разности, пр-я, частного ф-ии.

lim(f(x)±g(x))=b±c; lim(f(x)g(x))=bc; lim(f(x)/g(x))=b/c.

Д. Пусть {xn} -  сход к а послед-ть т-ек, отлич от а. В силу критерия предела ф-ии послед-ти {f(xn)} и {g(xn)} сходятся соотв к числам b и c. Но тогда сходятся (соотв к числам b±c, bc, b/c) и послед-ти {f(xn)±g(xn)}, {f(xn)g(xn)}, {f(xn)/g(xn)}. Повторное прим-е критерия позволяет сделать соотв вывод. Q.E.D.

Если y=f(x) и y=g(x) непрер в т а. то y=f(x)±g(x), y=f(x)g(x) и y=f(x)/g(x) так же непрер в т а.

Если f(x)g(x), то limf(x)limg(x).

Если limf(x)=limg(x)=b и f(x)h(x)g(x), то limh(x)=b.

20 Вывод предельного соотношения: lim_x0 sinx/x=1.

21 Св-ва локальной ограниченности, локального сохр-я знака непрерывной ф-ии.

Если  предел в т а ф-ии y=f(x), то  окр-ть этой т, в  данная ф-я явл огранич.

Д. Пусть lim_xaf(x)=b, т.е. 00x(0<|x-a|<|f(x)-b|). Поэтому, взяв 0 и  для него 0, можно утв-ть: если 0<|x-a|<, то |f(x)|=|f(x)-b+b||f(x)-b|+|b|+b. Q.E.D.

Если y=f(x) имеет в т а положит (отриц) предел, то  окр-ть этой т, в  данная ф-я принимает только положит (отриц) зн-я.

Д. Пусть lim_xaf(x)=b, т.е. 00x(0<|x-a|<|f(x)-b|). Взяв =|b|>0 и -щее для него 0, можно утв-ть поэтому: если 0<|x-a|<, то b-|b|<f(x)<b+|b|, a , f(x)<0 в случае b>0 и f(x)<0 в случае b<0. Q.E.D.

Если y=f(x) - непрер в т а и f(a)≠0, то  окр-ть т а, в  зн-я ф-ии явл положит, если f(a)>0, и отриц, если f(a)<0.

Критерий Коши -я предела ф-ии в т.

Ф-я имеет предел  для 0  окр-ть т а, в  зн-я ф-ии разнятся меж собой меньше, чем на : 00x'x''((0<|x'-a|<(0<|x''-a|<)|f(x')-f(x'')|<).

Непрерывность ф-ии на мн-ве.

x'>00x(x'XxX|x-x'||f(x)-f(x')|)

Для x'X и  сход к ней подпослед-ти {x_n} точек этого мн-ва поослед-ть {f(x_n)} зн-ий ф-ий в точках x_n сходится к зн-ю ф-ии в т x'.

Ф-я огр сверху: bx(xXf(x)b).

y'=supf(x)^def x(xXf(x)y')0x(xXf(x)>y'-).

Равномерная непрерывность.

00xx'(xXx'X|x-x'|<|f(x)-f(x')|<).

Для 0  такое 0, что в  2-ух т-ах мн-ва Х, отстоящих др от др меншье, чем на , зн-я ф-ии разнятся меньше, чем на .

Теорема Кантора: Если ф-я непрерыв на отрезке, то она явл на нём равномер непрерыв.

22 Лемма о прохождении непрерыв функции через 0.

Пусть y=f(x) непрер на отрезке [a,b] и на концах этого отр принимает зн-я разн знаков. Тогда внутри отрезка есть т, в  зн-е ф-ии равно 0.

Д. Пусть f(a)<0, f(b)>0. Пусть f((a+b)/2)≠0, тогда на концах одного из полученных отрезков будут зн-я разн знаков (отр а1b1). Повторим для этого отрезка то же. Получаем послед-ть влож отрезков [a,b]>[a1b1]>... с - общая т. докажем, что f(c)=0. Пусть f(c)≠0  f(x) сохраняет знак в не окрестн т, но отр попадает в эту окр, причём на его концах ф-я прин разн зн  противоречие f(c)=0. Q.E.D.

23 Теорема об огранич непрерывной ф-ии на отрезке.

Теорема Вейерштрасса 1.

Если ф-я явл непрерыв на отр, то она огр на этом отр-ке.

Д. "от противного", т.е. истино отв-е: с>0x(x[a,b]|f(x)|>c). Возьмём в ней послед-но зн-я с=1,2,... и обозн-я х₁,х₂,... -е для этих зн-ий с т-ки х[a,b], получ послед-ть {x_n} точек отр-ка [a,b] со св-ом |f(x_n)|>n, nN. Послед-ть {x_n} явл огранич и по Т Б-В имеет подпослед-ть {x_nk}, сход к не т х'[a,b]. Ввиду непрерывности ф-ии на этом отрезке послед-ть {f(x_n)} сходится (к f(x')), а потому явл огр. Возникает противор-е, т.к. по постр-ю |f(x_nk)|>n_kk, kN. Т.к. противоречие возникло из предполож-я о  непрерыв ф-ии на отрезке, не огр на этом отрезке, это предпол ложно. Q.E.D.