16 Определение экспонента числа. Основное тождество.

Каким бы ни было число х (R или C), послед-ть {S_n(x)}={1+x/1!+x²/2!+...+xⁿ/n!} сходится к не числу,  наз экспонентой числа х и обозн expx: expx=^def=lim_n+∞ (1+x/1!+...+xⁿ/n!), в частн exp0=1, exp1=e.

Д. Ввиду К Коши достаточно док-ть, что для произвольно взятого (но фиксированного компл числа) х послед-ть компл чисел {x_n} явл фунд, т.е. для неё истино утв-е 0n₀nk(n>n₀|x_n-x_n+k|<). Возьмём 0. Т.к. обе послед-ти {|x|/(n+1)} и {|x|ⁿ/n!} явл б м,  такое n₀N, что при n>n₀ выполн нерав-ва |x|ⁿ/n!< и |z|/(n+1)<1/2, из  следует, что для kN |x_n-x_n+k|=|(1+x/1!+...+xⁿ/n!)-(1+x/1!+...+x^n+k/(n+k)!)|=|xⁿ⁺¹/(n+1)!+...+x^n+k/(n+k)!||x|ⁿ/n!(|x|/(n+1)+...+|x|^k/[(n+1)...(n+k)])|x|ⁿ/n!(|x|/(n+1)+...+|x|^k/(n+1)^k)(|x|ⁿ/n!)([|z|/(n+1)]/[1-|z|/(n+1)])< Q.E.D.

Осн тожд для эксп. Для ab(CR): exp(x+y)=expxexpy.

1) expxexp(-x)=1 для х: expxexp(-x)=exp(x+(-x))=exp0=exp1;

2)exp(x-y)=expx/expy для xy: expx=exp(x-y+y)=exp(x-y)exp(y).

e^x=^def=expx=^def=lim_n+∞ (1+x/1!+...+xⁿ/n!).

e^x+y=e^xe^y; e^xe^-x=1; e^x-y=e^x/e^y.

Ф-ла Эйлера: e^ib=cosb+isinb.

17 Определение пределов ф-ии в т-е. Понятие непрерывности ф-ии в т-е.

Число b наз пределом ф-ии y=f(x) в т а (или при стремлении х к а), записывая это lim_xa f(x)=b (или f(x)b при xa), если истинно утв-е 00x(0<|x-a|<|f(x)-b)<).

Непрерывность ф-ии в т. y=f(x) непрерывна в т а, если истинно утв-е 0>0x(|x-a|<|f(x)-f(a)|<). lim_хаf(x)=f(a).

18 Эквивалентное определение предела ф-ии (её непрер-ть через послед-ть).

Критерий предела ф-ии в т через послед-ти.

а) y=f(x) имеет в т а предел, равный b.

б) Для  послед-ти {xn}, сход к т а, но отличн от а, зн-я f(xn) образуют послед-ть {f(xn)}, сход к числу b.

Д. 1) Пусть истинно утв а, и для 0 пусть 0 - то число,   для взятого числа . Если {x_n} - сход к а послед-ть точек, отличных от а, то для указанного числа   такое n₀, что для всех n>n₀ N выполн нерав-ва 0<|x_n-a|<, а , ввиду истинности утв-я а, и нерав-во |f(x_n)-b|<. Этим установлена сходимость послед-ти {f(x_n)} к числу b, а с ней и истинность утв-я б. 2) Пусть утв-е а ложно, т.е. >0>0x(0<|x-a|<((|f(x)-b|)(!f(x))). Послед-но беря знач-я =1,1/2,1/3,... и обозначая х₁,х₂,х₃,... -ие для этих зн-ий  зн-я х, получают послед-ть {x_n} точек x_n, для  0<|x_n-a|<1/n, а |f(x_n)-b) (либо !f(x_n)). Послед-ть {x_n} сходится к числу а, её эл-ты отличны от а, однако послед-ть {f(x_n)} не сходится к числу b (либо не опр-на). Наличие такой послед-ти означает ложность утв-я б. Q.E.D.

Критерий непрерывн ф-ии в т через послед-ти.

а) y=f(x) явл непрерыв в т а

б) для  послед-ти точек {x_n}, сход к т а, послед-ть {f(x_n)} зн-ий ф-ии в т-ах х_n сходится к зн-ю f(a).

Д. 1) Пусть истинно утв-е а. Если {x_n} -  сход к а послед-ть т-ек х_n, то взяв 0 и -щее для него число 0, можно утв-ть -е n₀N, со св-ом: если n>n₀, то |x_n-a|<, а , |f(x_n)-f(a)|<. Этим доказана сходимость послед-ти {f(x_n)} к числу f(a). 2) Пусть утв-е а ложно, т.е. 00x(|x-a|<(|f(x)-f(a)|!f(x)!f(a))). Послед-но полагая в этой ф-ле =1,1/2,1/3,... и обозначая х₁,х₂,х₃,... зн-я х, -е для этих зн-я , получают послед-ть {x_n} точек x_n, для  одновременно |x_n-a|<1/n и |f(x_n)-f(a)| (либо !f(x_n)!f(a)). Построенная послед-ть {x_n} обладает поэтому св-вом: она сходится к т а, однако не верно, что послед-ть {f(x_n)} зн-ий ф-ий в т-ах xn сходится к зн-ю f(a). Q.E.D.