12 Послед-ти, определяющие число е.

13 Подпослед-ти и предельные т-ки послед-тей.

Подпослед-ть заданной послед-ти {x_n} наз нов послед-ть, обознач {x_nk}, эл-ми  служат эл-ты исходной послед-ти, но взятые не подряд, а с пропусками - согласно выбору возраст послед-ти натур чисел (номеров) {n_k}.

Если послед-ть сходится, то сходится (к тому же пределу) и  её подпослед-ть. Может, однако случиться, что расх послед-ть имеет сход подпослед-ть. Если послед-ть {x_n} имеет подпослед-ть {x_nk}, сход к не числу х, то это число наз предельной точкой послед-ти {x_n} (или её частичным пределом).

Критерий предельной точки. Число х явл предельной точкой (частичным пределом) послед-ти  окрестность т х содержит ∞ много эл-ов послед-ти (или эл-ты послед-ти со сколь угодно большими номерами): 0n₀n(n>n₀|x_n-x|<).

Д. Пусть х - предельная т (частичный предел) послед-ти {x_n}, т.е. предел не её подпослед-ти {x_nk}. По def предела, это означ, что в  окрестность т х попадают все эл-ты подпослед-ти {x_nk}, начиная с не номера, а потому это окрестность содержит элементы послед-ти {x_n} со сколь угодно большими номерами. Пусть наоборот, истинно утв-е 0n₀n(n>n₀|x_n-x|<). Для =1 и n₀=1 n₁>1, что |x_n1-x|<1; для =1/2 и n₀=n1 n₂>n1, что |x_n2-x|<1/2; для =1/3 и n₀=n2 n₃>n2, что |x_n3-x|<1/3 и т.д. Т.о. из послед-ти {x_n} выделяется подпослед-ть {x_nk}, обладающая тем св-вом, что |x_nk-x|<1/k, kN, и в силу этого сходящаяся к числу x. Число х, оказываясь пределом подпослед-ти {x_nk}, явл частичным пределом послед-ти {x_n}. Q.E.D.

14 Теорема Больцано-Вейерштрасса.

 огр послед-ть имеет предельную т. Экв:  огр послед-ть имеет сход подпослед-ть.

Д. По def огр послед-ть послед-ти {x_n} означ -е отр [a,b], содержащего все эл-ты этой послед-ти: abn(ax_nb). Пусть Х - мн-во тех R чисел, справа от  лежит ∞ много эл-тов послед-ти {x_n}. Мн-во Х непусть (ему   число, меньшее а) и огр сверху (напр числом b), так что по т о  точн граней x'=supX. Ост док-ть, что число x' явл пред т послед-ти {x_n}. Возьмём >0 (сколь угодно малое). По def точ верхней грани  эл-т мн-ва Х не превосх числа x', так что x'+/2X, а потому справа от числа x'+/2 может нах-ся лишь конечное число эл-ов послед-ти {x_n} (либо их нет совсем). С др стороны, число x'- не явл верхней границей мн-ва Х, а потому справа от него есть эл-т хХ (справа от , а след-но, справа от числа x'- лежит ∞ много эл-ов послед-ти {x_n}). Сопоставление этих фактов показ-ет: интервал (x'-,x'+) при 0 содерж ∞ много эл-ов послед-ти {x_n}, а след-но, x' есть предельная т этой послед-ти. Q.E.D.

15 Фундаментальные послед-ти. Критерий Коши.

Послед-ть наз фундаментальной, если истинно утв-е: для 0,  такое целое n₀0, что 2 эл-та послед-ти, с номерами большими, чем n₀, различ меж собой, меньше чем на : >0n₀nk(n>n₀|x_n-x_n+k|<).

Критерий Коши. Для того, чтобы послед-ть была сход, необх и достат, чтобы она была фундаментальной.

Д. 1) Необх. Пусть послед-ть {x_n}R сходится (к не числу х). Взяв 0, можно утв-ть, что в /2-окр-ть числа х попадают все эл-ты x_n, с номерами, большими не n₀.  для n>n₀ и kN будут выполн соотн-я: |x_n-x_n+k|=|x_n-x+x-x_n+k||x_n-x|+|x-x_n+k|</2+/2, что и док-ет истинность для послед-ти {x_n} утв-я 0n₀nk(n>n₀|x_n-x_n+k|<). 2) Дост. Пусть для {x_n} истинно утв-е, выраж-е ф-лой 0n₀nk(n>n₀|x_n-x_n+k|<). Взяв какое-либо зн-е =₀0 и считая, что n₀ есть то целое неотриц число,  (согласно ф-ле)  для знач-я =₀, можно утв-ть: |x_n-x_n0+1|<₀ для n>n₀, а , для всех таких зн-ий n |x_n|=|x_n-x_n0+1+x_n0+1||x_n-x_n0+1|+|x_n0+1|<|x_n0+1|+₀. Обозначая наиб из чисел |x₁|,...,|x_n0|,|x_n0+1|+₀, можно утв-ть теперь, что |x_n|c, при n=1,2,..., т.е. послед-ть {x_n} оказ огранич. По Т Б-В послед-ть, явл огр, имеет пред т - число х,  окр-ть  содержит содерж эл-ты послед-ти со сколь угодно большими номерами. Остаётся док-ть, что число х на самом деле есть предел послед-ти, т.е. истинно утв-е 0n₀n(n>n₀|x_n-x|<). Возьмём >0. Т.к. послед-ть фундаментальна, для числа /2  такое n₁N, что  2 эл-та послед-ти {x_n}, с номерами, превосходящими n₁, отстоят др от др меньше, чем на /2. Взяв в /2-окр-ти числа х эл-нт послед-ти {x_n} с номером n₀>n₁, можно утв-ть: если n>n₀, то |x_n-x|=|x_n-x_n0+x_n0-x||x_n-x_n0|+|x_n0-x|</2+/2=, а  x=limx_n. Пусть теперь {z_n}={x_n+iy_n} - фунд послед-ть компл чисел, т.е. истинно утв-е >0n₀nk(n>n₀|z_n-z_n+k|<). Т.к. |z_n-z_n+k|=√((x_n-x_n+k)²+(y_n-y_n+k)²){|x_n-x_n+k| {|y_n-y_n+k|, истинными оказ утв-я 0n₀nk(n>n₀|x_n-x_n+k|<), 0n₀nk(n>n₀|y_n-y_n+k|<), т.е. фунд оказ послед-ти {x_n} и {y_n} R чисел. По уже доказанному эти послед-ти сходятся к не числам х и у, а , сходится - к числу z=x+iy - и послед-ть {z_n}. Q.E.D.