8 Бесконеч малые послед-ти и их св-ва.

Б м послед-ти - те,  сходятся к 0.

С1. Сумма и разность 2-ух б м есть б м.

Д. Пусть {_n} и {_n} - б м и возьмём >0. По def предела послед-ти для числа /2 n₁ и n₂ N такие, что |_n|</2 для n>n₁ и |_n|</2 для n>n₂. Т.к. |_n±_n||_n+_n|, выбором n₀=max{n₁,n₂} устанавливается истинность утв-я о том, что и послед-ти {_n±_n} явл б м: 0n₀n(n>n₀|_n±_n|<|).

С2. Произв  огр послед-ти на б м есть б м.

Д. Пусть {c_n} - огр послед-ть (т.е. h>0n(|c_n|h)) и пусть {_n} - б м. >0 можно утв-ть (поскольку lim_n=0), что для /h>0 n₀N, что |_n|</h для n>n₀. Как следствие, |c_n_n|=|c_n||_n|<h/h= для n>n₀, т.е. истинно утв-е: 0n₀n(n>n₀|c_n_n|<).

9 Арифм операции над сход послед-ми.

lim(x_n±y_n)=limx_n±limy_n; lim(x_ny_n)=limx_nlimy_n; lim(x_n/y_n)=limx_n/limy_n.

Д. Т.к. limx_n=x, limy_n=y, то {x_n-x} и {y_n-y} - б м. В соотв со С-ми б м, следующие послед-ти тоже б м: {(x_n±y_n)-(x±y)}={(x_n-x)±(y_n-y)}, {x_ny_n-xy}={x_n(y_n-y)+(x_n-x)y}; а  послед-ти {x_n±y_n} и {x_ny_n} сходятся, причём lim(x_n±y_n)=limx_n±limy_n и lim(x_ny_n)=limx_nlimy_n.

Если limy_n=y≠0, то для |y|/2 n₁N со св-вом: |y_n-y|<|y|/2 для n>n₁ N; как следствие при n>n₁ имеет место нерав-во |y_n|>|y_n|/2, в силу  определена и оказ-ся огр послед-ть {1/y_n}_n=n1+1^+∞. Остаётся заметить, исп-я запись {x_n/y_n-x/y}={x_n/y_n-x/y_n+x/y_n-x/y}={(1/y_n)(x_n-x)-x(1/y)(1/y_n)(y_n-y)} и св-ва б м, что послед-ть {x_n/y_n-x/y} явл б м, а поэтому lim(x_n/y_n)=x/y.

10 Пределы и нерав-ва. Принцип Сэндвича.

C. Если сходящиеся последовательности {x_n} и {y_n} таковы, что x_ny_n для nN, начиная с не, то limx_nlimy_n.

Д. "От противного". Пусть x>y, тогда для (x-y)/2>0  такие n₁ и n₂ N, что |x_n-x|<(x-y)/2, т.е. x-(x-y)/2<x_n<x+(x-y)/2 для n>n₁, a |y_n-y|<(x-y)/2, т.е. y-(x-y)/2<y_n<y+(x-y)/2 для n>n₂, и, как следствие y_n<(x+y)/2<x_n, для n>max{n₁,n₂}, а это несовместимо с усл-ем x_ny_n для nN, начиная с не  limx_n>limy_n неверно.

З. При замене условии утв-я нерав-ва x_ny_n на строгое x_n<y_n, утв-ть можно лишь нестрогое нерав-во limx_nlimy_n; это видно на примере послед-тей {1/n} и {-1/n}.

"Принцип сэндвича". Если {x_n} и {x_n'} - сход, причём limx_n=limx_n'=x, а послед-ть {y_n} такова, что x_ny_nx_n' для n, начиная с не, то послед-ть {y_n} также является сходящейся и limy_n=x.

Д. Т.к. limx_n=limx_n'=х, для >0  такие n₁ и n₁' N, что |x_n-x|<, т.е. x-<x_n<x+ для n>n₁ и |x_n'-x|<, т.е. x-<x_n'x+ для n>n₁'. Если взять n₀N, не меньшее не только чем n₁ и n₁', но и числа n, начиная с  выполняются нерав-ва x_ny_nx_n', то для n>n₀ N выполняются след нерав-ва: x-<x_ny_nx_n'<x+, так что истинным оказывается утв-е >0n₀n(n>n₀|y₀-x|<), т.е. limy_n=x. Q.E.D.

11 Теорема о пределе монотонной послед-ти.

Возрастающая послед-ть: n(x_n<x_n+1).

З1. Т.к.  возр послед-ть явл неуб, а  уб - невозр, все установленные для неуб-х послед-тейб справедливы для возр, а то что верно для невозр, остаётся верным и для уб-х.

З2. Поскольку добавление или отбрасывания конечного числа нач эл-тов послед-ти не влияет на её сходимость, в формулировках утв-ий о пределах монотонных послед-тей усл-е монотонности можно заменить на монотонность, начиная с не номера.

Теорема о сходимости огр монотонных послед-тей.

 огр монотонная послед-ть явл сходящейся. Точнее:

а) если неуб послед-ть огр сверху, то она сходится;

б) если невозр послед-ть огр снизу, то она сходится.

Д. (к п. а) Огр-ть сверху послед-ти означает тоже самое, что огр-ть сверху мн-ва её эл-ов. Согласно т о  точн граней у этого мн-ва есть точная верхняя грань - xR, со св-ми:

а) х явл верхней границей этого мн-ва: эл-т мн-ва не больше числа х;

б)  число <х (а его можно записать в виде х-, где 0), не является верхней границей этого мн-ва: xn0{x₁,x₂,...},превосходящий это число.

Выполнение этих св-в, имеющих формульную запись а) n(x_nx) и б) 0n₀(x_n>x-), влечёт истинность утв-я 0n₀n(n>n₀x-<x_n<x+), т.е. сходимость послед-ти к числу х.

 неогр монотон послед-ть является б б. Точнее:

а) неогр неуб послед-ть расх к +∞;

б) неогр невозр послед-ть расх к -∞.

Д. (к п.б) Неогр невозр послед явл неогр снизу. h>0 x_n0<-h, так что (ввиду невозр послед-ти) -h>x_nox_n0+1..., и истинным оказ-ся утв-е h>0n₀n(n>n₀x_n<-h). Q.E.D.