5 Комплексные числа. Действия с ними (вкл. Извлеч. Корней) и их изображение.

Система компл чисел С это результат внедрения в сист R чисел доп эл-та i,  нет в R числах, такой что i²=-1. Выполняются все А R чисел. a+bi. Частные случаи: R числа - а, мнимые числа - а+bi, чисто мнимые числа - bi. z=x+iy: x=Rez - R-часть, y=Imz - снимая часть; x-iy=z' - комплексно сопряжённое z; Rez=(z+z')/2, Imz=(z-z')/(2i), z''=z, (z+w)'=z'+w', (zw)'=z'w', z'/w=z'/w', |z'|=|z|, zz'=|z|².

Полярная запись комплексного числа: z=rcosϕ+irsinϕ, где r=|z| - модуль числа, ϕ=argz - аргумент числа. |zw|=|z||w|, arg(zw)=argz+argw. |z/w|=|z|/|w|, arg(z/w)=argz-argw.

Ф-ла Муавра (ф-ла извлечения корней): (r(cosϕ+isinϕ))ⁿ=rⁿ(cosnϕ+isinnϕ), nZ. Корнями n-ой степени (nN) из компл числа а наз все те компл числа,  удовл ур-ю zⁿ=a. Для их обознач-я исп обознач-я а^1/n и ⁿ√а.

Для  ненулевого компл числа а символ ⁿ√a имеет ровно n компл знач-ий. Изобр-е на коорд пл-ти, они располаг в вершинах прав n-угольника, вписанного в окружность ради­уса r=ⁿ√|a| с центром в нач к-т.

6 Понятие последовательности и её предела.

Числовой послед-тью наз ф-ю натуральной переменной, принимающую числовые значения. Говорят, что задана числовая послед-ть {x_n}, если каждому nN сопоставлено некое число (R или C), обозначаемое x_n и наз-е n-ым эл-ом послед-ти {x_n}. Число x наз пределом послед-ти {x_n} (запись: lim x_n = x), если истинно утв-е: “Для любого полож числа, обозначаемого ,  такое n₀N, что все эл-ты x_n со значениями n>n₀ попадают в -окрестность числа x, т. е. удовлетворяют неравенству |x_n-x|<.” >0n₀n(n>n₀|x_n-x|).

7 Св-ва ед-ти предела и огр-ти сход-ся послед-ти.

Послед-ть, у  есть lim наз сходящейся [x>0n₀n(n>n₀|x_n-x|<], а у  нет - расходящейся.

C1. Сход послед-ть имеет ед предел.

Д. Если предположить, что x=limx_n и x'=limx_n (x≠x'), то каково бы ни было полож число , для всех достаточно больших “номеров” n должны были бы выполняться неравенства |x_n-x|< и |x_n-x'|<, их  следовало бы, что |x-x'|=|(x-x_n)+(x_n-x')||x-x_n|+|x_n-x'|2, что невозможно при выбора |x-x'|/2.

С2. Сход послед-ти не нарушается (и величина ее предела сохраняется) при любом изменении в послед-ти (равно как при удалении из нее или добавлении к ней) конечного числа нач эл-ов.

Д. Изменить в послед-ти {x_n} неск нач эл-ов - значит перейти к послед-ти {x_n'} c x_n'=x_n для всех n, начиная с некоторого n₁. Удалить же из нее (соотв-но, добавить к ней) нач эл-нт — значит перейти к послед-ти {x_n+1} (соотв-но послед-ти {x_n-1}). Пусть послед-ть сход к числу x, т. е. истинно утв-е, выраж-е ф-ой >0n₀n(n>n₀|x_n-x|<). Замена числа n₀N, -го (в силу данной ф-лы) для >0, на наиб из чисел n₀ и n₁ позволяет сделать вывод об истинности утв-я, выражаемого ф-ой >0n₀n(n>n₀|x_n'-x|<,- о сходимости (к пределу x) последовательности {x_n'}.

C3.  сход послед-ть {x_n} является огранич: все ее эл-ты не больше (по модулю) не положит числа: ∃h>0∀n(|x_n|h).

Д. Возьмём >0. Тогда, если x=limx_n, то для n>n₀N, будет выполняться нерав-во |x_n-x|<, a  и нерав-во |x_n|<|x|+. Пусть р - наиб из чисел |x1|, ... , |x_n0|, a h - наиб из чисел р и |x|+. Тогда |x_n|h для n, поскольку заведомо |x_n|p при nn₀ и |x_n|<|x|+ при n>n₀. Q.E.D.

Послед-ть огр снизу: аn(ax_n).

C4. Если последовательность {x_n} сходится (к числу x) то последовательность {|x_n|}также сходится (к числу |x|).

Д. Ф-ла 0n₀n(n>n₀||x_n|-|x||<) (выражающая то, что lim|x_n|=|x|) есть следствие ф-лы 0n₀n(n>n₀|x_n-x|<) и нерав-ва ||xn|-|x|||xn-x|.