1 Определение системы действительных чисел

Система действит (или веществ) чисел - это воображаемое мн-во, обозн R, в 

а) есть два выделенных эл-та: 0 и 1;

б) выделено подмн-во элементов а, наз-ых положит-ми числами (обозн а>0 или аR₊);

в) введены операции слож-я и умн-я: каковы бы ни были эл-т аR и bR (не обязательно отличный от а), определены обозн-емые а+b и a^.b (чаще ab, реже axb) элементы мн-ва R, наз-ые соотв-о суммой произв-я числа а и b;

г) предполагаются выполненными утв-я (аксиомы) А1-А10, в  a, b, ... - любые эл-мы мн-ва R.

А1. a+b=b+a и ab=ba - переместительные з-ны (коммуникативность) слож-я и умн-я.

А2. a+(b+c)=(a+b)+c и a(bc)=(ab)c - сочетательные з-ны (ассоциативность) слож-я и умн-я.

А3. a(b+c)=ab+ac - распределительный з-н (дистрибутивность) слож-я и умн-я.

А4. a+0=a и а1=а - св-ва нуля и единицы.

А5. Ур-е а+х=b имеет в мн-ве R ед-е реш-е,  обозн-ют b-a и наз-ют разностью чисел b и a (или результатом вычитания числа а из числа b); разность 0-а обозн-ют -а и наз-ют числом, противоположным а.

А6. Ур-е ах=b при а≠0 имеет в мн-ве R ед-у реш-е,  обозн-ют b/a и наз-ют частным от деления числа b на число а; частное 1/а (обозн-е также а^-1) наз-т числом, обратным а.

А7. Если аR, то либо а=0, либо а>0, либо -а>0; в последнем случае а наз-т отриц-ым числом (обозн-е а<0); если b-a>0, то считают, что а меньше b, или b больше а, обозн-я это a<b (или b>a).

А8. ab((a>0)(b>0)(a+b>0)(ab>0)

А9 (аксиома Архимеда). a(a>0nN(n>a))

А10 (аксиомы непрерывности [полноты]). Если все эл-ты мн-ва R разделены на два непустых подмн-ва А и В так, что ab((aA)(bB)a<b), то cR, являющийся либо наиб-им в мн-ве А, либо наим-им в мн-ве В.

2 Огр и неогр мн-ва. Их точные грани.

Мн-во Х огр снизу: аx(xXax), где а - нижняя граница мн-ва Х.

Точная верхняя грань: s=supX ^def x(xXxs)>0x(xXx>s-)

inf(-X)=-supX sup(-X)=infX

Мн-во Х неогр снизу: infX=-∞ ^def ax(xXx<a).

3 Теорема о  точных граней.

1) Если мн-во Xø и огр сверху, то supX.

2) Если мн-во Xø и огр снизу, то infX.

Д. Пусть Xø и огр сверху и пусть В - мн-во всех верх­них границ X, а А - мн-во всех ост R чисел (т.е. не явл-хся верхними гра­ницами мн-ва X). Оба мн-ва А и В непусты, и аА < bB (т.к. а<x для не xX, тогда как хb для bB). В силу А10 либо в мн-ве А есть наиб эл-нт, либо в мн-ве В есть наим.

Если допустить 1-ый вариант (в мн-ве А есть наиб эл-нт а'), то (т.к. a'A) для не эл-та хX будет выполняться неравенство а'<х, а потому и неравенства a'<1/2(a'+x)<x; вследствие 2-го 1/2(a'+x)A, а в силу 1-го 1/2(a'+x)A - противоречие. Выполняется поэтому 2-ой вариант: в мн-ве В есть наим эл-нт, Q.E.D.

4 Понятие промежутка. Принцип вложенных отрезков.

Промежуток - это мн-во XR, содержащее более 1 т,  содержит все точки, промежуточные между  2-мя точками Х: x₁x₂(x₁Xx₂Xx₁<x₂x(x₁<x<x₂xX).

Промежутки: отрезки [a,b]=^def={xR|axb}, интервалы -//-, полуинтервалы -//-, лучи -//-.

Принцип вложенных отрезков: Если каждому nN поставить в соотв не отрезок, так что каждый послед-ий принадлежит предыдущему (послед-ть влож-х отрезков), т.е. [a₁,b₁]>[a₂,b₂]>...>[a_n,b_n]>..., то сR, приадлежащее всем этим отрезкам: cn(a_ncb_n).

Д. Пусть А — мн-во левых концов от­резков [a_n,b_n], т.е, чисел a_n. Так как а_пa_n+k < b_n+kb_k, при n,kN, мн-во А огр сверху. По т о  точных граней сR, явл-ся наим среди всех верхних границ мн-ва А, так что для него выполняются и неравенства а_nc, и неравенства cb_k, или a_ncb_n Q.E.D.