137. Мультипликативное свойство производящей функций

Если ζ₁,.., ζ_i независимые целочисленные СВ, то хар-кая функция их суммы равна произведению хар-ких функций. _{ζ1.. ζn} (s)= _ζ1(s)… _ζn(s)

138. Можно ли производящую функцию считать законом распределения и почему Коэф. Р_n степенного ряда _ζ(s)=M_sζ= ⁿp_n одназначно опред как р_n=(1/n!)* ⁿ_ζ(0), ’_ζ(s)= ^n-1p_n=p₁+ ^n-1p_n , ’_ζ(0)=p₁ и так далее. Т.о имея _ζ(s) можно однозначно восстановить таблицу распределения ζ

139. Характеристическая функцией СВ ζ наз функция f_ζ(t)=M(e^itζ)= ^itxdF_ζ(x), t R, f_ζ(t) C, i=

140. Формулы расчёта хф для нсв и дсв

f_ζ(t)= ^itx p_k ,

f_ζ(t)= ^itxp_ζ(x)dx

141. Свойства хф

1⁰. f_ζ(0)=1;

2⁰. |f_ζ(t)| 1, t R

3⁰. f_aζ+b(t)=a^itb f_ζ(at)

4⁰. | f_ζ(t+ )- f_ζ(t) | ХФ равномерно непрерывна на всей числовой оси

5⁰. Если СВ ζ₁,.., ζ_i независимы, то _{ζ1+.. +ζn} (t)=П_i=1ⁿf_ζ : (t)

6⁰. если для к конечный момент к-го порядка, то непре-рывная производная к порядка от Х.Ф и _к=М_ζк=(1/i^k)*f_ζk(0)

7⁰. если М_|ζ|k< , то в окрестности точки t=0 справедливо следующие разложения f_ζ(t)= ((it)^e/e!) M_ζe +0(|t₀|^k)

8⁰. f_ζ(t)= f_ζ(-t)

142. мультипликативное свойство ХФ.

Если СВ ζ₁,.., ζ_i независимы, то _{ζ1+.. +ζn} (t)=П_i=1ⁿf_ζ : (t)

143. Как с помощью ХФ найти начальные моменты распределения _к=М_ζк=(1/i^k)*f_ζ^k(0)

144. Можно ли ХФ считать законом распределения вероятностей Х.Ф. однозначно определяет функции Распределения согласно ХФ является законом распределения СВ

145. Как плотность распределения вероятностей восстанавливается по ХФ

p_ζ(x)=(1/2*Pi) ^-itxf_ζ(t)dt

146. Выводы о преимуществах использования ХФ

Использовать ХФ рекомендуется тогда, когда приходится иметь дело суммами независимых СВ в данном случаи по _{ζ1+.. +ζn} (t)=П_i=1ⁿf_ζ : (t). Найти распределения суммы проще, чем вычислять интеграл типа свертак для плотностей распределения.

147. Формулы для расчёта дисперсии в двумерном случаи

D_ζ1= ₁-M_ζ1)²p_ζ1ζ2(x₁,x₂)dx₁dx₂= ₁²p_ζ1ζ2(x₁,x₂)dx₁dx₂=( x₁p_ζ1ζ2(x₁,x₂)dx₁dx₂)²