3.10. Статический расчет балки с учетом перераспределения усилий.

Сначала выполняем статический расчет главной балки по упругой схеме без учета перераспределения усилий. Для этого строим эпюры моментов в балке от действия постоянной нагрузки и от всех возможных вариантов приложения временной нагрузки. Затем строим эпюры от совместного действия постоянной нагрузки и каждого варианта приложения временной нагрузки.

Вычисляем множители:

- для постоянной нагрузки:

m = = = 0,112;

- для постоянной нагрузки:

m = = = 0,227;

Вычисляем ординаты эпюр моментов в балке при всех видах нагружения по формуле:

М = m *К , М = m *К

Здесь j – номер расчетной точки в балке;

i – номер варианта приложения временной нагрузки к балке;

k – коэффициент из табл.2; для нашего случая принимаем схему нагружения балки двумя сосредоточенными силами в пролете.

Все вычисления ординат эпюр моментов представлены в табл. 3.

На рис. 1.7 в графической форме представлены графики эпюр моментов рассмотренных сочетаний нагрузок (С1 – С5), наложенные друг на друга. Графики представлены только для левой половины главной балки; для сочетаний С4 и С5 обратные ветви графиков представлены как С4* и С5*. Внешние очертания всех этих эпюр как для положительных, так и для отрицательных моментов представляют собой огибающую эпюру моментов для главной балки при ее расчете как упругой системы без учета перераспределения усилий (рис. 1.8).

Таблица 3.

Расчетные коэффициенты К

Схема нагруж.	Номер расчетной точки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
I	0	2112	1344	-2304	576	576	-2304	1344	2112	0
II	0	2496	2112	-1152	-1152	-1152	-1152	2112	2496	0
III	0	-384	-786	-1152	1728	1728	-1152	-768	-384	0
IV	0	1984	1088	-2688	832	1472	-768	-512	-256	0
V	0	2368	1856	-1536	-896	-256	384	256	128	0

Рис. 44. Эпюры изгибающих моментов упругого расчета главной балки

Расчетная схема

Вид нагр.	Множи-тель		Номер расчетной точки
			1	2	3	4	5	6	7	8
П	m = 0,112	К	2112	1344	-2304	576	576	-2304	1344	2112
		М	236,54	150,53	-258,05	64,51	64,51	-258,05	150,53	236,54
В1	m =0,227	К	2112	1344	-2304	576	576	-2304	1344	2112
		М	479,42	305,09	-523,01	130,75	130,75	-523,01	305,09	479,42
В2		К	2496	2112	-1152	-1152	-1152	-1152	2112	2496
		М	566,60	479,42	-261,50	-261,50	-261,50	-261,50	479,42	566,60
В3		К	-384	-786	-1152	1728	1728	-1152	-768	-384
		М	-87,17	-178,42	-261,50	392,26	392,26	-261,50	-178,42	-87,17
В4		К	1984	1088	-2688	832	1472	-768	-512	-256
		М	450,37	249,98	-610,18	188,86	334,14	-174,34	-116,22	-58,11
В5		К	2368	1856	-1536	-896	-256	384	256	128
		М	537,54	421,31	-348,67	-203,39	-58,11	79,00	58,11	29,06
П+В1		М	715,96	455,62	-781,06	195,26	195,26	-781,06	455,62	715,96
П+В2		М	803,14	629,95	-519,55	-196,99	-196,99	-519,55	629,95	803,14
П+В3		М	149,37	-27,89	-519,55	456,77	456,77	-519,55	-27,89	149,37
П+В4		М	686,91	400,51	-868,23	253,37	398,65	-432,39	34,31	178,43
П+В5		М	774,08	571,84	-606,72	-138,88	6,4	-179,05	208,64	265,60

Таблица 4

Схемы нагружения

Ординаты эпюр моментов в главной балке (кН*м)

Рис. 45. Огибающая эпюра моментов главной балки после упругого расчета

При расчете статически неопределимых конструкций, к которым, в частности, относится наша главная балка, перераспределение усилий выполняется с целью достижения целей, поставленных задачей перераспределения.

Целями перераспределения усилий являются:

- максимально возможное уменьшение величины опорных изгибающих моментов;

- при этом максимально уменьшаются изгибающие моменты в пролетах балки.

Рассматривая данные табл. 4 видим, что максимальный изгибающий момент на средней опоре балки М = 868,23 кН*м (4 сочетание нагрузок).

Ограничиваем армирование балки на опоре ( в соответствии с условием: изгибающий момент, действующий в пластическом шарнире, должен отличаться от момента в том же сечении, определенного по упругой стадии расчета, не более чем на 30%.) величиной, равной

М =0,7* М = 0,7*868,23 = 607,76 кН*м.

Теперь рассмотрим, как изменится очертание эпюры моментов 1 сочетания нагрузок в связи с этим ограничением.

Мы видим, что в 1 сочетании опорные моменты равны 781,06 кН*м, что больше установленного ограничения момента на опоре, равного М = 607,76 кН*м. Таким образом, при приложении к балке 1 сочетания нагрузок с ограничением армирования на опоре, в балке на обеих опорах образуются пластические шарниры, так как в них величина момента будет вызывать деформации текучести арматуры. Результат перераспределения эпюры моментов в 1 сочетании представлен в графической форме на рис. 46.

Ординаты дополнительной эпюры моментов для 1 сочетания на опорах балки будут равны = М - М = 781,06 – 607,76 = 173,3 кН*м.

Складывая ординаты упругой эпюры моментов С1 с ординатами дополнительной эпюры моментов , получим перераспределенную эпюру моментов сочетания С1 .

Рис. 46. Процесс перераспределения эпюры моментов 1 сочетания нагрузок

Так как 1 сочетание представляет загружение балки полезной нагрузкой во всех пролетах, то ординаты этой эпюры после перераспределения определяют и пороги армирования в пролетах балки. Так в крайних пролетах порог армирования соответствует моменту 773,77 кН*м, а в среднем пролете 368,56 кН*м. Эти величины и будут определяющими при построении процессов перераспределения усилий в остальных сочетаниях нагрузок главной балки.

Теперь посмотрим, как будет перераспределяться эпюра моментов в сочетании С2.

В упругом расчете моменты в крайних пролетах балки в этом сочетании равны М = 803,14 кН*м, что больше установленного в этих пролетах пределах армирования 773,77 кН*м на величину = 803,14 – 773,77 = 29,37 кН*м. Следовательно, при приложении к балке сочетания нагрузок С2 в крайних пролетах балки будут образовываться пластические шарниры, вследствие развития которых будет происходить перераспределение усилий.

Результат перераспределения эпюры моментов в С2 представлен в графической форме на рис. 47.

Рис. 47. Процесс перераспределения эпюры моментов сочетания С2

Как видно из рис. 47, в процессе перераспределения эпюры моментов С2 произошло увеличение опорных моментов по сравнению с упругим расчетом. Однако это увеличение не превысило установленного порога армирования на опорах балки.

Теперь посмотрим, как будет перераспределяться эпюра моментов в сочетании С3.

Мы видим, что в упругом расчете изгибающий момент в среднем пролете превышает установленный порог армирования на величину = 456,77 – 368,56 = 88,21 кН*м. В точках 4 и 5 балки при приложении нагрузок этого сочетания будут образовываться пластические шарниры, ограничивающие рост моментов в среднем пролете. Это явится причиной перераспределения эпюры моментов.

Результат перераспределения эпюры моментов в С3 представлен в графической форме на рис. 48.

Рис. 48. Процесс перераспределения эпюры моментов сочетания С3

Так же как в С2, в С3 произошло увеличение опорного момента до уровня установленного порога армирования на опоре.

Теперь рассмотрим процесс перераспределения эпюры моментов С4. В точке 3 опорный момент превышает установленный порог армирования на величину = 868,23 - 607,66 = 260,57 кН*м. В этой точке появится 1 пластический шарнир. Кроме того, в точке 5 балки пролетный момент также превышает установленный в среднем пролете порог армирования на величину = 398,65 -368,56 = 30,09 кН*м. Следовательно, в этой точке также образуется второй пластический шарнир. Первый шарнир будет уменьшать опорный момент на опоре в точке 3, а второй – увеличивать опорный момент на опоре в точке 6.

Результат перераспределения эпюры моментов в С4 представлен в графической форме на рис. 49.

Рис. 49. Процесс перераспределения эпюры моментов сочетания С4

Рассматривая упругую эпюру моментов С5, мы видим, что в точке 1 изгибающий момент превышает установленный в крайнем пролете порог армирования на величину = 774,08 – 773,77 = 0,31 кН*м. Поэтому при приложении к балке этого сочетания усилий в этой точке образуется пластический шарнир. Во всех остальных сечениях балки изгибающие моменты упругого С5 не превышают установленных порогов армирования. Следовательно, в С5 в балке будет появляться только один пластический шарнир. Он вызовет перераспределение эпюры моментов с ординатой дополнительной эпюры в точке 3 равной 3* = 0,31*3 = 0,93 кН*м. приложение этого момента к балке в точке 3 вызовет появление в точке 6 обратного по знаку момента, равного 0,93/4 = 0,2325 кН*м.

Результат перераспределения эпюры моментов в С5 представлен в графической форме на рис. 50.

Рис. 50. Процесс перераспределения эпюры моментов сочетания С5

Для построения огибающей эпюры моментов после перераспределения усилий наложим полученные эпюры друг на друга в одном масштабе (рис. 51). Получим огибающую эпюру моментов в главной балке после перераспределения моментов (рис. 52).

Рис. 51. Эпюры моментов главной балки после перераспределения усилий

Ввиду того, что эпюры моментов в результате перераспределения усилий изменились, изменились также и эпюры поперечных сил в балке. Формула вычисления величины поперечной силы на каждом участке балки:

Q = ,

где: Q - поперечная сила на i-м участке балки (номер участка определяется номером расчетной точки на его правом конце);

М - изгибающий момент на правом конце участка балки (кН*м);

М - изгибающий момент на левом конце участка балки (кН*м);

а- длина участка балки между второстепенными балками, м.

Получим огибающую эпюру поперечных сил в балке после перераспределения усилий (рис. 53).

Рис. 52. Огибающая эпюра моментов главной балки после перераспределения усилий и сравнение ее с огибающей эпюрой моментов упругого расчета

Рис. 53. Огибающая эпюра поперечных сил