Предел последовательности
Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку.
δ — окрестностью точки x0 Uδ (x0) называется интервал длиной 2δ с центром в этой точке.
Определение предела последовательности
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε > 0 найдется номер n0 = n0(ε) ∈ N такой, что для всех номеров n > n0 выполняется неравенство |xn — a| <ε
Число b называется пределом последовательности {xn}=x1, x2,..., xn (lim {xn} = b; n→∞)
Последовательность {xn}, имеющая конечный предел а, называется сходящейся. Последовательность, имеющая бесконечный предел или вообще не имеющая предела, называется расходящейся
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.
Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
Замечание
2.
Пусть {xn}
- ограниченная последовательность,
элементы которой находятся в сегменте
[a, b].
Тогда предел с любой сходящейся
подпоследовательности 
также
находится на сегменте [a, b].
Действительно,
так как 
,
то в силу следствия
2 выполняются
неравенства a ≤ c ≤ b.
Это и означает, что c находится
на сегменте [a, b].
Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3, ..., n, 1/(n+1), ... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2, ..., n, ... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.
Критерий Коши. Функция f имеет конечный предел в точке x0 тогда и только тогда, когда
Особую роль играют два замечательных предела:
Если 
,
то
34.
ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ
-
предел функции в нек-рой точке справа
или слева. Пусть f - отображение
упорядоченного множества X(напр.,
множества, лежащего на числовой прямой),
рассматриваемого как топологич.
пространство с топологией, порожденной
отношением порядка, в топологич.
пространство Y и 
.
Предел отображения f по любому
интервалу 
наз.
пределом слева отображения f и обозначают
(он
не зависит от выбора 
),
а предел по интервалу 
наз.
пределом справа и обозначают
(он
не зависит от выбора 
).
Если точка 
является
предельной как слева, так и справа для
множества определения функции f, то
обычный предел
по проколотой окрестности точки х 0 (в этом случае его наз. также двусторонним, в отличие от односторонних пределов) существует тогда и только тогда, когда в точке х 0 существуют пределы слева и справа и они равны между собой.
Преде́л
фу́нкции —
одно из основных понятий математического
анализа.
Функция 
имеет
предел 
в
точке 
если
для всех значений 
,
достаточно близких к
,
значение
близко
к
.
35.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Функция y=f(x) называется бесконечно
малой при x→a или
при x→∞,
если 
или 
,
т.е. бесконечно малая функция – это
функция, предел которой в данной точке
равен нулю.
П
римеры.
Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как
(см.
рис.).Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если
функция y=f(x) представима
при x→aв
виде суммы постоянного числа b и
бесконечно малой величины α(x):
f (x)=b+ α(x) то 
.
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство.
Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a,при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство.
Приведем доказательство для двух
слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x),
где 
и 
.
Нам нужно доказать, что при произвольном
как угодно малом ε>0
найдетсяδ>0,
такое, что для x,
удовлетворяющих неравенству |x
– a|<δ,
выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие
1. Если
и
,
то 
.
Следствие
2. Если
и c=const,
то 
.
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство.
Пусть 
.
Тогда 1/f(x) есть
ограниченная функция. Поэтому дробь 
есть
произведение бесконечно малой функции
на функцию ограниченную, т.е. функция
бесконечно малая.
Пусть f1 (x)
и
f 2 (x)
бесконечно малые величины при 
,
т.е. 
и 
.
1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:
.
(4.17)
2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:
.
(4.18)
3.
Произведение бесконечно малой величины
на константу С или
на функцию, имеющую конечный предел 
,
есть величина бесконечно малая:
.
(4.19)
Пусть 
и 
бесконечно
большие величины при
,
т.е. 
и 
.
1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:
.
(4.20)
2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:
.
(4.21)
3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:
(4.22)