Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Общее уравнение плоскости   может быть приведено к нормальному виду умножением его обеих частей на так называемый нормирующий множитель  . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку числа D. Если D = 0, то знак нормирующего множителя значения не имеет.

Общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель будет действительно нормальным уравнением плоскости, так как длина вектора с координатами   равна единице , а правило выбора знака нормирующего множителя гарантирует выполнение условия  .

Разберем решения примеров.

Пример.

Приведите уравнение плоскости   к нормальному виду.

Решение.

В нашем случае  . Так как D – положительное число, то нормирующий множитель следует взять со знаком минус. Вычислим значение нормирующего множителя:  . Для получения требуемого нормального уравнения плоскости умножим обе части исходного уравнения на нормирующий множитель:

Ответ:

Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Пришло время поговорить о наиболее важном приложении нормального уравнения плоскости - уравнение плоскости в нормальном виде в основном используется для нахождения расстояния от заданной точки пространства до плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость задана нормальным уравнением плоскости вида   и требуется найти расстояние   от точки   до этой плоскости. Оно может быть вычислено по формуле  . То есть, расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине числа, которое получается при подстановке координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости. Вывод этой формулы, а также альтернативный способ нахождения требуемого расстояния даны в статье расстояние от точки до плоскости.

Пример.

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана нормальным уравнением плоскости  . Найдите расстояние от точки   до этой плоскости.

Решение.

Подставим координаты точки   в левую часть нормального уравнения плоскости:  . Искомое расстояние равно абсолютной величине полученного значения, то есть,  .

Ответ:

Если плоскость задана не уравнением в нормальном виде и требуется вычислить расстояние от заданной точки до этой плоскости, то следует сначала перейти к нормальному уравнению плоскости и применить формулу  .

Пример.

Вычислите расстояние от точки   до плоскости  .

Решение.

Нам дано уравнение плоскости в отрезках. Приведем его к нормальному уравнению плоскости. Для этого сначала перейдем к общему уравнению этой плоскости, а полученное уравнение приведем к нормальному виду.

. Вычисляем нормирующий множитель, при этом берем его со знаком плюс:  . Умножив обе части уравнения   на нормирующий множитель, получаем нормальное уравнение исходной плоскости:  .

Теперь имеем  . У нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения нужного расстояния от точки до плоскости:

Ответ:

27.

Угол между плоскостями

Пусть плоскости   и   заданы соответственно уравнениями   и   . Требуется найти угол   между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку   на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры   и   к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы   и   плоскостей   и   с началами в точке   (рис. 11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку   провести плоскость   , перпендикулярную линии пересечения плоскостей   и   , то прямые   и   и изображения векторов   и   будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости   (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7)   и   , следовательно, угол   между нормальными векторами равен углу   , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями   и   .

Во втором варианте (рис. 11.8)   , а угол   между нормальными векторами равен   . Так как

то в обоих случаях   .

По определению скалярного произведения   . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где   -- любое число.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы   и   параллельны, а значит  .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

 или 

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно,  или  .

Таким образом,  .

28.