Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

Ax + By + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (

a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0,с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

26.

Нормальное уравнение плоскости – описание и пример.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.

Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p ( ) единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости  . Будем считать, что длина вектора   равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть,  , причем  . Обозначим расстояние от точки до плоскости как  , то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ONравна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.

Получим уравнение этой плоскости.

Возьмем точку трехмерного пространства  . Тогда ее радиус вектор   имеет координаты  , то есть,   (при необходимости смотрите разделкоординаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек   определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора   на направление вектора   равна p, то есть,   (смотрите рисунок ниже).

Тогда определение скалярного произведения векторов   и   дает нам следующее равенство  . Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как  . Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости  . Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение  , которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.

Итак, нормальное уравнение плоскости вида   задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости  .

Следует заметить, что косинусы зачастую явно не фигурирует в нормальном уравнении плоскости, так как   и   - это некоторые действительные числа, сумма квадратов которых равна единице.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением в нормальном виде  . Здесь  , нормальный вектор плоскости   имеет координаты  , его длина равна единице, так как  . Более того, заданная плоскость находится на расстоянии 7 единиц от начала координат в направлении вектора  , так как p = 7.

Очевидно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости вида  , в котором числа A, B и C таковы, что длина нормального вектора плоскости   равна единице, а число D неотрицательно.

Осталось разобраться с вопросом: «Как узнать, действительно ли перед нами нормальное уравнение плоскости»? Ответить на него достаточно просто: если выполняются оба условия   и  , то мы имеем уравнение плоскости в нормальном виде, если же хотя бы одно из условий не выполняется, то уравнение плоскости не является нормальным. Рассмотрим пример.

Пример.

Есть ли среди указанных уравнений уравнения плоскости в нормальном виде?

• ;

• ;

• .

Решение.

Начнем с первого уравнения. Проверим, равна ли длина нормального вектора плоскости   единице. Вычислим длину:  . Осталось убедиться, что числоp в этом уравнении положительно. Это действительно так, так как  . Таким образом, первое уравнение плоскости является уравнением плоскости в нормальном виде.

Второе уравнение плоскости не является нормальным уравнением плоскости, так как не выполняется условие   (в этом уравнении  ).

В третьем уравнении длина нормального вектора   не равна единице:  . Поэтому оно не является уравнением плоскости в нормальном виде.

Ответ:

только первое уравнение является нормальным уравнением плоскости.