Свойства систем векторов

Свойство (1) Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2) Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3) Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4) Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5) Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A₁ , A₂ ,..., A_n называется такая подсистема B₁, B₂ ,...,B_r (каждый из векторов B₁,B₂,...,B_r является одним из векторов A₁ , A₂ ,..., A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям: 1. B₁,B₂,...,B_r линейно независимая система векторов; 2. любой вектор A_j системы A₁ , A₂ ,..., A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂,...,B_r

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E₁ E₂ ,..., E_m , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A₁ ,A₂ ,...,A_n необходимо:

• Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ

• Привести эту систему

17.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

  

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как |a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

      

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первымвектором.

Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

  

Решение:                                                              

5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0b, то а b

.

18.

19.

. Векторным произведением векторов   и   называется вектор  , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен   где   - угол между векторами   и  .

2) Вектор   перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами   и  .

3) Вектор   направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы   и  , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов   и   обозначается символом  :

     (25)

или

     (26)

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение   равно нулю, если векторы   и   коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

   (распределительное свойство).

Выражение векторного произведения   через проекции векторов   и   на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

     (27)

которую можно записать с помощью определителя

     (28)

Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

     (29)

и тогда на основании (4)

     (30)

Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор   - сила, а вектор   есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы   относительно точки O   есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора   точки приложения силы на силу  , т. е.

20.

Векторно-скалярное произведение трех векторов  ,   и   или смешанное их произведение вычисляется по формуле

     (31)

Абсолютная величина векторно-скалярного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и  . Объем пирамиды, построенной на векторах  ,   и  , получим по формуле

     (32)

причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным (предполагается, что векторы  ,   и   не лежат в одной плоскости).

21.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.