Понятие о непрерывности функции.

      Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке (см формулу (1)). Функция 

не определена при Δt= 0. Но для числа L = v₀ — gt₀ при уменьшении |Δt| разность v_ср(Δt) - L приближается к нулю. Именно поэтому мы писали v_ср(Δt) → v₀ — gt₀ при Δt→0. Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стремящемся к x₀, если разность f(x) - L сколь угодно мала, т. е. |f(x) – L| становится меньше любого фиксированного hɬ при уменьшении |Δх|, где Δх = х—x₀. (Значение х=x₀ не рассматривается, как и в задаче определения мгновенной скорости.)        Вместо х→ x₀ можно, конечно, писать Δх→ 0.        Нахождение числа L по функции f называют предельным переходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях.        Первый случай — это предельный переход в разностном отношении Δf/Δx, т. е. нахождение производной. С этим пунктом мы познакопились в пункте производная.        Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Если f(x) → f (х₀) при х→ x₀, то функцию называют непрерывной в точкех₀. При этом f(x) - L = f (x) - f (х₀) = Δхf; получаем, что |Δf| мало при малых |Δх|, т. е. малым изменениям аргумента в точке х₀соответствуют малые изменения значений функции. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определения. На этом и основан способ построения графиков «по точкам», которым вы все время пользуетесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших случаях такое исследование проводят на основании определения

41.

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. 

Пример 1

Исследовать функцию   на непрерывность.

Решение.

Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.

      

Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

      

Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода. 

Пример 2

Показать, что функция   имеет устранимый разрыв в точке x = 0.

Решение.

Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всехx, то искомая функция   также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0.  Так как  , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию

      

которая будет непрерывной при любом действительном x. 

Пример 3

Найти точки разрыва функции  , если они существуют.

Решение.

Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.  Вычислим односторонние пределеы при x = 0.

      

Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен

      

При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва. 

 Пример 4

Найти точки разрыва функции  , если они существуют.

Решение.

Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.

      

Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).

Рис.2		Рис.3

Пример 5

Найти точки разрыва функции  , если таковые существуют.

Решение.

Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки  , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.

      

Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке   существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

42.

43.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке   выполняется условие -  .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке  , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок   на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке  , то образуется некоторая окрестность точки  .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения   и  , что  , причем  .

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например -  ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция   непрерывна в точке  , то существует некоторая окрестность точки  , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция   - непрерывная на отрезке   и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где  .

Т.е. если  , то  .

Определение. Функция   называется равномерно непрерывной на отрезке  , если для любого   существует   такое, что для любых точек   и   таких, что   верно неравенство  .

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого  существует свое , не зависящее от  , а при “обычной” непрерывности   зависит от   и  .

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Свойство 7: Если функция   определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция   тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.  в точке   функция непрерывна в точке 

точка разрыва 1 - го рода