Второй замечательный предел, примеры нахождения, задачи и подробные решения.
Второй
замечательный предел имеет
вид:
или
в другой записи
В
случае второго замечательного предела
имеем дело с неопределенностью вида
единица в степени бесконечность 
.
Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу сподробным оприсанием решения.
Пример.
Вычислить
предел 
Решение.
Подставляем
бесконечность:
Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела.
Сделаем
замену переменных. Пусть
Если 
,
то 
Исходный
предел после замены примет вид:
Ответ:
Пример.
Вычислить
предел 
Решение.
Подставляем
бесконечность:
Пришли
к неопределенности единица в степени
бесконечность, которая указывает на
применение второго замечательного
предела. Выделим целую часть в основании
показательно степенной функции:
Тогда
предел запишется в виде:
Сделаем
замену переменных. Пусть
Если
,
то 
Исходный
предел после замены примет вид:
В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.
Ответ:
Пример.
Вычислить
предел 
Решение.
Преобразуем
функцию, чтобы применить второй
замечательный предел:
Сейчас
домножим показатель на 
и
разделим на это же выражение, затем
используем свойства степени:
Так
как показатели степени числителя и
знаменателя дроби 
одинаковые
(они равны 6),
то предел этой дроби на бесконечности
равен отношению коэффициентов при
старших степенях (см.
непосредственное вычисление пределов):
Если
произвести замену 
,
то получим второй замечательный предел
в чистом виде, следовательно,
Ответ:
39.
Пусть
Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде
Если
λ = 0, то говорят, что
является бесконечно малой более
высокого порядка по сравнению с
при
Для записи такого утверждения используется выражение
|
|
и 
– бесконечно малые функции при 
.
Предел отношения этих величин может
принимать любые значения – в зависимости
от быстроты убывания одной величины
относительно другой. Для сопоставления
скоростей убывания этих величин при
стремлении x точке a
можно использовать предел отношения
а
функция
имеет меньший порядок малости.
Термин “порядок малости” допускает
уточнение, если
и 
представляют собой бесконечно малые
одного и того же порядка. В этом случае
говорят, что
является бесконечно малой n-го
порядка по сравнению с
.
Например, функция 
является бесконечно малой 4-го порядка
по сравнению с 
при x → 0.
Если λ = ∞, то бесконечно малые
и
как бы меняются своими ролями. В этом
случае функция
является бесконечно малой более
высокого порядка по сравнению с
при
.
Сформулируем некоторые полезные свойства
эквивалентных бесконечно малых.
являются эквивалентными, если
и
являются бесконечно малыми одного и
того же порядка.
40.