38. Логические методы ускорения умножения: алгоритм Бута.

Методы ускорения умножения можно условно разделить на логические и аппаратные.

Логические методы ускорения умножения. Логические подходы к убыстрению умножения можно подразделить на две группы:

– методы, позволяющие уменьшить количество сложений в ходе умножения;

– методы, обеспечивающие обработку нескольких разрядов множителя за шаг.

Алгоритм Бута. В основе алгоритма Бута лежит следующее соотношение, характерное для последовательностей двоичных цифр: 2^m + 2^m-1 + … + 2^k = 2^m+1 – 2^k,

где m и k – номера крайних разрядов в группе из последовательных единиц. Например, 011110 = 2⁵ - 2¹. Это означает, что при наличии в множителе групп из нескольких единиц (комбинаций вида 011110), последовательное добавление к СЧП множимого с нарастающим весом (от 2^k до 2^m) можно заменить вычит. из СЧП множимого с весом 2^k и прибавлением к СЧП множимого с весом 2^m+1.

Алгоритм предполагает три операции: сдвиг, сложение и вычитание. Помимо сокращения числа сложений (вычитаний) у него есть еще одно достоинство – он в равной степени применим к числам без знака и со знаком. Алгоритм Бута сводится к перекодированию множителя из системы (0, 1) в избыточную систему (-1, 0, 1), из-за чего его часто называют перекодированием Бута (Booth recoding). В записи множителя в новой системе 1 означает добавление множимого к сумме частичных произведений, -1 – вычитание множимого и 0 не предполагает никаких действий. Во всех случаях после очередной итерации производится сдвиг множимого влево или суммы частичных произведений вправо. Реализация алгоритма предполагает последовательный в направлении справа налево анализ пар разрядов множителя – текущего b_i и предшествующего b_i-1 (b_i b_i-1). Для младшего разряда множителя (i = 0) считается, что предшествующий разряд равен 0, то есть имеет место пара b₀0. На каждом шаге i (i = 0, 1,…, n - 1) анализируется текущая

комбинация b_i b_i-1.

Комбинация 10 означает начало цепочки последовательных единиц, и в этом случае производится вычитание множимого из СЧП.

Комбин. 01 соотв. завершению цепочки единиц, и здесь множимое прибавляется к СЧП.

Комбинация 00 свидетельствует об отсутствии цепочки единиц, а 11 – о нахождении внутри такой цепочки. В обоих случаях никакие арифметические операции не производятся.

По завершении описанных действий осуществляется сдвиг множимого влево либо суммы частичных произведений вправо, и цикл повторяется для следующей пары разрядов множителя. Описанную процедуру рассмотрим на примерах (используется вариант со сдвигом множимого влево). В приведенных примерах операция вычитания, как это принято в реальных умножителях, выполняется путем сложения с множителем, взятым с противоположным знаком и представленным в дополнительном коде.

Пример. Умножить два целых числа со знаком по алгоритму Бута: A = -4, B = 3, n = 4.

Решение. [A]пр = 0.00000100; [A]доп = 1.11111100; [-A]доп = 0.00000100;

[B]пр = [B]доп = 0.0011

Шаг	Мт	Мн и СЧП	Действие
0	0011	0.00000000	СЧП0=0
1	00110 -1	0.00000100 0.00000100 1.11111000	Начало цепочки единиц (-Мн) СЧП1 Сдвиг Мн влево
2	0011 0	---------- 0.00000100 1.11110000	Внутри цепочки единиц СЧП2 Сдвиг Мн влево
3	0011 1	1.11110000 1.11110100 1.11100000	Конец цепочки единиц (+Мн) СЧП3 Сдвиг Мн влево
4	0101 0	-------- 1.11110100	Вне цепочки единиц [P]доп = СЧП4
		1.00001100	[P]пр