41. Доказательство теоремы о признаке (достаточном условии) существования седловой точки матрицы игры размерности .

Для того чтобы у матрицы А размером 2x2 существовала седловая точка, достаточно, чтобы сумма эле­ментов главной диагонали матрицы А равнялась сумме элемен­тов ее побочной диагонали:

Доказательство.

Из равенства

Возможны случаи:

или

В случае (1) из получаем неравенство , ко­торое вместе с неравенством (1) означает, что второй столбец матрицы А доминируется ее первым столбцом. Тогда существует оптимальная смешанная стратегия игрока В, в которую чистая стратегия В₂ входит с нулевой вероятностью (другими словами, в данном случае стратегия В₁ является оптимальной). Следовательно, стратегия В₂ пассивна, и потому в силу критерия седловой точки матрицы игры размерности в терминах пассивных стратегий у матрицы А существует седловая точка.

Если же имеет место случай (2), то из вытекает неравенство , которое вместе с (2) означает строгую юминируемость первого столбца матрицы А ее вторым столб­цом. А потому В₁ является пассивной и, следовательно, у матрицы А существует седловая точка.

41. Вывод формул для нахождения оптимальных смешанных стратегий игрока и цены игры размерности без седловой точки.

Так как матрица А не имеет седловой точки, то нижняя цена игры в чистых стратегиях а меньше верх­ней цены игры в чистых стратегиях Поэтому решения игры в чистых стратегиях не существует и надо искать решение игры в смешанных стратегиях.

В этом случае в соответствии со следствием выполняется условие

.

Пусть — оптимальная смешанная стратегия игрока A (которая всегда существует по основной теореме матричных игр фон Неймана) и V – цена игры.

Так как матрица А не имеет седловых точек, то пассивных стратегий в игре не существует. Поэтому стратегии В₁ и В₂ активны. Тогда Записывая ле­вые части этих равенств по формуле и присоединяя к ним нормировочное условие получим систему трех ли­нейных алгебраических уравнений

с тремя неизвестными Определитель этой системы

в силу выполнимости условия . Поэтому система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Для этого вычислим определители

Тогда по формулам Крамера

получаем требуемые формулы

и

41. Вывод формул для нахождения оптимальных смешанных стратегий игрока и цены игры размерности без седловой точки.

Так как матрица А не имеет седловой точки, то нижняя цена игры в чистых стратегиях а меньше верх­ней цены игры в чистых стратегиях Поэтому решения игры в чистых стратегиях не существует и надо искать решение игры в смешанных стратегиях.

В этом случае в соответствии со следствием выполняется условие

.

Пусть — оптимальная смешанная стратегия игрока В (которая всегда существует по основной теореме матричных игр фон Неймана) и V – цена игры.

Так как матрица А не имеет седловых точек, то пассивных стратегий в игре не существует.

Поэтому стратегии А₁ и А₂ активны. Следовательно, . Записывая ле­вые части этих равенств по формуле и присоединяя к ним нормировочное условие

получим систему

.

Определитель этой системы

в силу выполнимости условия . Поэтому система

имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Для этого вычислим определители

По формулам Крамера

мы получаем формулы и