1.12 Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей.

В случае электростатических полей, обладающих симметрией (плоской, осевой или сферической) теорема Гаусса позволяет достаточно просто получить выражение для определения модуля вектора . Для этого достаточно теорему применять по следующей схеме:

в каждой точке поля из симметрии поставленной задачи определяют направление вектора ;
выбирают замкнутую поверхность (поверхность интегрирования) и определяют поток вектора через неё. Выбранная поверхность должна отражать симметрию поля и внутри неё должен находиться заряд (или часть заряда);
определяют величину заряда, заключенного внутри поверхности;
применяют теорему Гаусса (1. 21).

1.12.1 Поле равномерно заряженной бесконечно протяженной плоскости.

Так как плоскость заряжена равномерно, то во всех её точках поверхностная плотность зарядов одинакова, поэтому поле такой плоскости однородно. Линии вектора перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны (рис. 1.11 а).
Выбираем замкнутую цилиндрическую поверхность, основания которой параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. В таком случае линии вектора напряженности пересекают только два основания поверхности, поток через которые согласно (1.18) может быть определен:

где S – площадь основания поверхности.

Рис. 1.11 Поле равномерно заряженной бесконечно протяженной плоскости: а) к применению теоремы Гаусса;

б) график зависимости Е от r

Определяем заряд внутри цилиндрической поверхности используя (1.24).
Применяем теорему Гаусса (1.21):

, откуда (1.25)

На (рис.1.11 б) приведен график зависимости модуля вектора в зависимости от , где - расстояние от плоскости до точки, в которой определяется значение .

Используя связь между напряженностью и потенциалом поля (1.7) можно определить разность потенциалов между двумя точками поля, расположенными на расстоянии и от плоскости (рис 1.11 а)

В заключении отметим, что реальная плоскость может быть принята за бесконечно протяженную при условии, что её размеры значительно больше расстояния от неё до точек, в которых определяется напряженность.

Поле плоского конденсатора.

Рис. 1.12 Поле плоского конденсатора, создаваемое каждой из пластин конденсатора в отдельности (а) и результирующее поле между обкладками (б).

Используя выражение (1.26) и принцип суперпозиции полей можно определить напряженность поля плоского конденсатора (рис.1.12). Из построения силовых линий (рис. 1.12 а) следует, что поле вне пластин отсутствует (слева и справа от пластин линии напряженности и направлены навстречу друг другу), а внутри конденсатора: