Взаимное превращение электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла.

(Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Связь между изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями. Уравнения Максвелла в интегральной форме. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Относительность электрических и магнитных полей. Электромагнитное поле в движущихся телах. Преобразования Лоренца. Значение теории Максвелла.)

Уравнения Максвелла.

Мы рассмотрели электрические колебания в колебательном контуре. В нем электрическое поле (поле внутри конденсатора, т.к. мы рассматривали конденсатор с бесконечно большими пластинами) пространственно отделено от магнитного поля (поля внутри катушки индуктивности, так как мы рассматривали бесконечно длинный соленоид). При этом, как мы видели, происходит взаимопревращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот.

Т.е. мы рассматривали переменные электрические и магнитные поля.

Посмотрим теперь, как записываются основные уравнения электромагнетизма с учетом изменения полей во времени.

Теорема Гаусса для электрического поля

Здесь ничего не изменится, если полагать, что заряды меняются с течением времени. Эти, так называемые уравнения электростатики, остаются без изменений ‑ уравнения (1.26), (1.27), (1.28):

(I)

Это, как отмечалось, одно из уравнений Максвелла в интегральной форме ‑ поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность равен сумме зарядов внутри этой поверхности.

Ему соответствует уравнение в дифференциальной форме

(I’)

Дивергенция вектора электрической индукции равна плотности электрических зарядов .

К этим уравнениям добавляют, так называемое, уравнение среды

(II)

Вектор электрической индукции равен произведению электрической постоянной на диэлектрическую проницаемость среды и на вектор напряженности электрического поля .

Кроме того, к этому уравнению среды добавляют еще одно уравнение среды (2.5), являющееся законом Ома в дифференциальной форме

(III)

Вектор плотности тока равен произведению электропроводности среды на вектор напряженности электрического поля .

Теорема Гаусса для магнитного поля

Эта теорема отражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, магнитных униполей: (3.3), (3.4). Она без изменений переходит в систему уравнений Максвелла.

(IV)

Уравнение Максвелла в интегральной форме ‑ поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю.

Аналогично, существует дифференциальная форма этого уравнения

(IV’)

Дивергенция вектора магнитной индукции равна нулю.

К этим уравнениям также добавляется уравнение среды

(V)

Вектор магнитной индукции равен произведению магнитной постоянной , на магнитную проницаемость среды и на вектор напряженности магнитного поля .

Циркуляция вектора электрического поля

Мы уже отмечали тот факт, что электростатическое поле потенциально, поэтому его циркуляция по замкнутому контуру равна нулю (1.12), (1.13):

Здесь ‑ напряженность электростатического поля, т.е. поля, создаваемого неподвижными зарядами. Но электрическое поле может создаваться в частности, как мы видели, и меняющимся во времени магнитным полем. Опытным обоснованием этого факта есть явление электромагнитной индукции. Закон электромагнитной индукции имеет вид (3.29)

Здесь ‑ ЭДС, возникающая в замкнутом контуре, ‑ изменение магнитного потока, пронизывающего этот контур за промежуток времени .

С другой стороны ЭДС индукции можно записать как циркуляцию вектора напряженности сторонних сил по контуру

Далее, выражение для магнитного потока запишем в виде

Производная по времени от магнитного потока будет выражаться как

Тогда закон электромагнитной индукции будет иметь вид

Далее, будем рассматривать полный вектор . В этом случае

(VI)

Это есть уравнение Максвелла в интегральной форме ‑ циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру равна производной по времени от потока магнитной индукции .

Ему также соответствует уравнение в дифференциальной форме

(VI’)

Ротор вектора напряженности электрического поля равен производной по времени от вектора индукции магнитного поля, взятой с обратным знаком.

Циркуляция вектора магнитного поля

Согласно теореме о циркуляции (3.13), (3.14), можно записать

Используя связь , запишем

Таковы опытные факты, которые мы изучили.

Ток смещения

Мы видели, что изменяющееся во времени магнитное поле индуцирует вихревое электрическое поле . Максвелл предположил, что и меняющееся во времени электрическое поле индуцирует вихревое магнитное поле . Причем закон их связи аналогичен уравнению (VI)

Это свое предположение он обосновывал, изучая прохождение переменного тока через конденсатор. В самом деле, между обкладками конденсатора находится диэлектрик, т.е. изолятор. Постоянный ток через конденсатор не проходит, переменный ‑ проходит!

В переменном поле происходит лишь смещение связанных зарядов диэлектрика от положения равновесия в обе стороны и получается как бы прохождение тока, аналогично постоянному току.

Поэтому ток через конденсатор называют током смещения. Найдем выражение для плотности тока через конденсатор, т.е. для тока смещения.

Таким образом ‑ .

С другой стороны, напряженность поля внутри конденсатора равна

Следовательно ‑ .

Максвелл предположил, что ток смещения обладает всеми свойствами тока проводимости и, в частности, создает магнитное поле

Тогда, записывая, что плотность тока равна сумме плотности тока проводимости и плотности тока смещения ‑ , циркуляцию магнитного поля можно записать в виде

Обычно никогда не пишут или , а просто и .

Таким образом, окончательное выражение для циркуляции магнитного поля будет иметь вид

(VII)

Это ‑ последнее уравнение Максвелла в интегральной форме ‑ циркуляция вектора магнитного поля по замкнутому контуру равна сумме токов проводимости и токов смещения, охватываемых этим контуром.

Этому уравнению соответствует дифференциальная форма

(VII’)

Таким образом, мы получили все четыре уравнения Максвелла в интегральной форме:

Этим четырем уравнениям в интегральной форме соответствуют четыре уравнения в дифференциальной форме:

К этим четырем уравнениям добавляют еще три уравнения среды:

Эти уравнения образуют замкнутую систему уравнений электромагнитного поля и описывают все многообразие электромагнитных процессов известного нам реального мира. Так мы от опытных, частных законов ‑ закон Кулона, закон Био-Савара, закон э/м индукции ‑ пришли к обобщенным уравнениям электромагнитного поля.

Лекция 17 (2 часа)