9.2 Свободные затухающие колебания.

Если в контуре активным сопротивлением пренебречь нельзя, то дифференциальное уравнения колебаний (9.2) имеет вид

.

Это уравнение можно привести к виду

, (9.10)

где . (9.11)

Решение уравнения (9.10) при условии , т.е. при , имеет вид

, (9.12)

где - заряд на пластинах конденсатора в момент времени t=0;

- зависимость амплитуды заряда на пластинах конденсатора от времени;

- частота затухающих колебаний.

Используя выражения (9.11), частоту затухающих колебаний можно записать в виде

. (9.13)

При R=0 выражение (9.13) переходит в (9.4).

Разделив функцию (9.12) на емкость С, получим зависимость напряжения между пластинами конденсатора от времени

(9.14)

Сопоставляя формулы (9.12) и (9.14) можно сделать вывод, что заряд на пластинах и напряжение между ними изменяются по одинаковым законам.

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (9.12) по времени:

.

Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение , получим

.

Введя угол , определяемый условиями

,

можно написать

. (9.15)

Поскольку , а , значение заключено в пределах от до . Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на ( при R=0 опережение составляет ).

График функции (9.12) изображен на рис. 9.4. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Затухание колебаний принять характеризовать логарифмическим декрементом затухания

(9.16)

Здесь - амплитуда соответствующей величины ( или ). Напомним, что логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний , совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в раз:

.

Подставив в (9.16) значение для из (9.11) и заменив Т через , получим

Рис. 9.4 График зависимости заряда на пластинах конденсатора от времени при затухающих колебаниях.

(9.17)

Частота , а следовательно, и определяются параметрами контура и . Таким образом, логарифмический декремент затухания является характеристикой контура.

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

,

т.е. добротность контура величина, прямопропорциональная числу колебаний , в течение которых амплитуда уменьшается в раз.

Вынужденные электрические колебания

Вынужденные колебания в контуре можно осуществить, например, если последовательно в контур (см. рис. 9.1 а) подать переменное напряжение рис. 9.5:

, (9.16)

где - амплитудное значение напряжения; - частота источника переменного напряжения.

Рис. 9.5 Схема для получения вынужденных колебаний в контуре

Это напряжение нужно прибавить к ЭДС самоиндукции и формула (9.2) примет вид:

,

или после подставки значений , и получим:

(9.17)

После преобразования, получим:

(9.18)

в этом уравнении и определяются по формулам (9.11).

Решение этого уравнения имеет вид:

, (9.19)

где ; (9.20)

Подстановка значений и в формулы (9.20) даёт:

(9.21)

(9.22)

Продифференцировав выражение (9.19) по t, найдём силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

. Запишем это выражение в виде:

(9.23)

где есть разность фаз между током и приложенным напряжением (9.16). В соответствии с (9.22)

(9.24)

Из этой формулы следует, что ток отстаёт по фазе от напряжения (φ>0) в том случае, когда > , и опережает напряжение (φ<0) при условии, что < . Согласно (9.21)

(9.25)

Представим соотношение (9.17) в виде

(9.26)

Произведение IR равно напряжению на активном сопротивлении, q/C есть напряжение на конденсаторе U_c, выражение определяется напряжение на индуктивности U_L. С учётом этого можно написать

(9.27)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне (9.5)

В соответствии с (9.23)

(9.28)

Разделив выражение (9.19) на ёмкость, получим напряжение на конденсаторе

(9.29)

Здесь

(см. (9.25)). Умножив производную функцию (9.23) на L, получим напряжение на индуктивности:

(9.30)

Здесь

Сопоставление формул (9.23), (9.28), (9.29) и (9.30) показывает, что напряжение на ёмкости отстаёт по фазе от силы тока на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током.

можно показать, что резонансная частота для заряда q и напряжения на конденсаторе U_c равна:

Резонансные кривые для U_c изображены на рис. 9.6 (резонансные кривые для q имеют такой же вид). При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_Cm=U_m – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_m. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т.е чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура.

Рис. 9.6 Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе

Резонансные кривые для силы тока приведены на рис. 9.7. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при (см. 9.25). Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний в контуре

Рис. 9.7 Резонансные кривые для силы тока в контуре

Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

Настроив контур на одну из частот , и т. д. (т. е. подобрав соответствующим образом его параметры С и L), можно получить на конденсаторе напряжение, значительно превышающие напряжения других составляющих. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприёмника на нужную длину волны.

Лекция 15 (2 часа)