Свободные колебания в контуре без активного сопротивления. Собственные и вынужденные электромагнитные колебания.

(Колебательный контур, возникновение в нем колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний заряда и его решение. Формула Томсона. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательного контура. Автоколебания. Вынужденные электри­ческие колебания. Получение незатухающих колебаний (генераторы). Обратная связь.)

Колебательный контур. Собственные колебания в контуре.

Электрическая цепь, состоящая из конденсатора, катушки индуктивности и активного сопротивления, называется колебательным контуром (рис. 9.1 а). В такой цепи могут возникать периодические изменения напряжения и заряда на пластинах конденсатора, ток в цепи, энергия электрического и магнитного полей. Такие изменения называют электрическими колебаниями.

a)

Возбудить колебания в контуре можно различными методами, например, предварительной зарядкой конденсатора от внешнего источника тока (рис. 9.1. б). Если ключ К поставить в положение А, то конденсатора зарядится до максимального заряда q_m. Между пластинами конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого равна (рис. 9.2 а, стадия 1),

Стадии: 1 2 3 4 5

а)

где С- емкость конденсатора. Если ключ К перевести в положение В, то в цепи появится ток, конденсатор начнет разряжаться. В результате энергия электрического поля начнет уменьшаться, но возникнет возрастающая энергия магнитного поля, созданного током, протекающего через катушку индуктивности L. Полагая, что сопротивление контура R равно нулю, и контур не излучает энергии в пространство, то полная энергия контура, равная сумме энергий электрического и магнитного полей будет оставаться величиной постоянной. Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается, и, когда заряды на обкладках достигнут первоначального значения q, сила тока станет равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном направлении (стадии 4 и 5), после чего система приходит в исходное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе процесса периодически изменяются (т.е. колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

На рис. 9.2 б колебаниям в контуре сопоставлены колебания математического маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведению маятника внешней силой из положения равновесия и сообщение ему первоначального отклонения . При этом возникает потенциальная энергия маятника, равная . Стадии 2 соответствует прохождение маятника через положение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инерции. К этому времени энергия маятника полностью переходит в кинетическую и определяется выражением , где . Сопоставление дальнейших стадий предоставляет читателю.

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии математического маятника. Индуктивность играет роль массы m, величина, обратная емкости , - роль жесткости . Наконец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равновесия , а силе тока - скорость . Ниже мы увидим, что аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяется и на описывающие их математические уравнения.

Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления. Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор (рис. 9.3). Тогда

(9.1)

Напишем для цепи 1-3-2- выражение для закона Ома

(9.2)

В нашем случае . Подстановка этих значений в (9.2) дает

.

Наконец, заменив через , получим уравнение

(9.3)

Если ввести обозначение

, (9.4)

уравнение (9.3) принимает вид

, (9.5)

Хорошо знакомый нам из учения о механических колебаниях. Решением этого уравнения является функция

(9.6)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой выражением (9.4). Эта частота называется собственной частотой контура (она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора), а такие колебания – собственными колебаниями. Для периода колебаний получается так называемая формула Томсона:

(9.7)

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем :

(9.8)

Продифференцировав функцию (9.6) по времени, получим выражение для силы тока

(9.9)

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на .

Сопоставление формул (9.8) и (9.9) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, напряжение обращается в нуль, и наоборот. Это соотношение мы уже установили ранее, основываясь на энергетических соображениях.

Из формул (9.8) и (9.9) можно получить максимальные (амплитудные) значения напряжения и тока

.

Отношение этих амплитуд с учетом, что , равно и называется волновым сопротивлением контура.