2.12. Вывод законов Ома, Джоуля-Ленца и Видемана-Франца на основе теории Друде-Лоренца.
Закон Ома.
Ускорение, приобретаемое электроном в
электрическом поле
(рис.6.3).
Рис.6.3. К выводу закона Ома.
На пути свободного пробега λ максимальная скорость электрона достигнет величины
,
где τ - время свободного пробега:
.
Среднее значение скорости упорядоченного движения есть:
.
Подставив это значение в формулу для плотности тока, будем иметь:
,
Полученная формула представляет собой закон Ома в дифференциальной форме:
,
где σ – удельная электропроводность металла:
.
Закон Джоуля - Ленца
Кинетическая энергия электрона, которую он имеет к моменту соударения с ионом:
.
При столкновении с ионом энергия,
полученная электроном в электрическом
поле
,
полностью передается иону. Число
соударений одного электрона в единицу
времени равно
,
где λ – длина свободного пробега
электрона. Общее число столкновений за
единицу времени в единице объема равно
.
Тогда количество тепла, выделяющегося
в единице объема проводника за единицу
времени будет:
.
Последнюю формулу можно представить в виде закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:
,
где ρ =1/σ – удельное сопротивление металла.
Закон Видемана-Франца.
Из опыта известно, что металлы, наряду с высокой электропроводностью, обладают также высокой теплопроводностью. Видеман (Wiedemann G., 1826-1899) и Франц (Franz R.,) установили в 1853г. эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности κ к коэффициенту электропроводности σ для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре:
.
Рассматривая электроны как одноатомный газ, можем на основании кинетической теории газов написать для коэффициента теплопроводности электронного газа:
,
где
- удельная теплоемкость одноатомного
газа при постоянном объеме.
Разделив κ на σ, приходим к закону Видемана-Франца:
.
Подставив сюда k = 1,38·10-23 Дж/К и е = 1,6·10-19 Кл, найдем, что
,
что очень хорошо согласуется с экспериментальными данными.
2.13. Затруднения классической теории электропроводности металлов. Сверхпроводимость металлов. Открытие высокотемпературной сверхпроводимости.
Несмотря на достигнутые успехи, классическая электронная теория проводимости металлов Друде-Лоренца не получила дальнейшего развития. Связано это с двумя основными причинами: 1) трудностями, с которыми столкнулась эта теория при объяснении некоторых свойств металлов; 2) созданием более совершенной квантовой теории проводимости твердых тел, устранившей затруднения классической теории и предсказавшей ряд новых свойств металлов.
Выделим основные затруднения теории Друде-Лоренца:
1. Согласно классической теории,
зависимость удельного сопротивления
металлов от температуры
в
то время, как на опыте в широком интервале
температур вблизи Т≈300К для
большинства металлов наблюдается
зависимость ρ ~ Т.
2. Хорошее количественное совпадение с законом Видемана-Франца оказалось в известной степени случайным. В первоначальном варианте теории Друде не учитывал распределение электронов по скоростям. Позже, когда Лоренц учел это распределение, оказалось, что отношение
,
что значительно хуже согласуется с экспериментом. Согласно же квантовой теории,
.
3. Теория дает неправильное значение теплоемкости металлов. С учетом теплоемкости электронного газа С=9/2R, а на практике С=3R, что примерно соответствует теплоемкости диэлектриков.
4. Наконец, теория оказалась полностью неспособной объяснить открытое в 1911г. Камерлинг-Оннесом (Kamerligh-Onnes H., 1853-1926) явления сверхпроводимости (полного исчезновения сопротивления) металлов при низких температурах, а также существования остаточного сопротивления, в сильной степени зависящего от чистоты металла (рис.6.4).
Интересно отметить, что в отношении низкотемпературных сверхпроводников (металлов) действует правило: металлы с более высоким удельным сопротивлением ρ имеют и более высокую критическую температуру сверхпроводящего перехода Ткр (см. таблицу).
Таблица. Свойства низкотемпературных сверхпроводников.
-
Металл
Удельное сопротивление,
10-8 Ом∙м
Тк , К
Титан
Алюминий
Ртуть
Свинец
1,7
2,5
94
22
0,4
1,2
4,1
7,2
Феноменологическая теория низкотемпературной сверхпроводимости была создана в 1935г. Ф.и Г. Лондонами (London F., 1900-1954, London H., 1907-1970), но лишь спустя почти полвека (в 1957г.) явление сверхпроводимости получило окончательное объяснение в рамках микроскопической (квантовой) теории, созданной Дж.Бардиным, Л. Купером и Дж. Шриффером (Bardeen J., Cooper L., Schrieffer J.).
В 1986г. Дж. Беднорцем (Bednorz J.) и К. Мюллером (Müller K.) было открыто явление высокотемпературной сверхпроводимости в керамических металлоксидах (лантана, бария и др. элементов), являющихся диэлектриками при комнатной температуре. Критическая температура перехода в сверхпроводящее состояние для этих материалов около 100К.
Теория высокотемпературной сверхпроводимости в настоящее время находится в стадии разработки и пока далека от своего завершения. Неясен даже механизм возникновения высокотемпературной сверхпроводимости.
Лекция 8 (2 часа)