Уравнение бегущей волны

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем

случае описывается волновым уравнением:

, (113)

которое является дифференциальным уравнением в частных производных.

Здесь - смещение колеблющейся частицы, как функция координат и времени, - фазовая скорость, т.е. скорость перемещения фазы колебаний.

Для плоской волны волновое уравнение имеет вид:

.

Решение этого уравнения является уравнением бегущей плоской

волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в

среде, не поглощающей энергию:

или

, (114)

где - амплитуда волны, - циклическая частота, -фаза волны, - начальная фаза, - волновое число, - фазовая скорость.

Принцип суперпозиции. Интерференция волн

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы каждой волны.

Интерференция волн – наложение двух (или нескольких) когерентных волн, в результате чего происходит усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Когерентными называются волны одного направления одинаковой частоты и постоянной разности фаз.

Рассмотрим наложение двух когерентных волн, возбуждаемых точечными источниками (для простоты начальные фазы ):

.

Разность фаз этих колебаний равна

, (115)

где - разность хода волн, - длина волны.

1) Если колебания происходят в одинаковой фазе, т.Е. ( , (116)

то наблюдается максимум интерференции. Приравниваем (115) и (116):

.

Получаем условие максимума при интерференции:

( . (117)

В этом случае .

2) если колебания происходят в противофазе, т.е.

( , (118)

то наблюдается минимум интерференции. Приравниваем (115) и (117):

.

Получаем условие минимума при интерференции:

( . (118)

В этом случае .

Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу.

Такой случай можно реализовать, заставив бегущую волну отразиться от преграды (рис. 24).

Уравнения падающей и отражённой волн имеют вид:

.

Сложив эти уравнения, используя тригонометрические преобразования, получаем уравнение стоячей волны:

, (119)

где амплитуда стоячей волны:

. (120)

Из выражения (120) видно, что амплитуда стоячей волны

. (121)

Точки, в которых амплитуды бегущей и отражённой волны складываются, называются пучностями ( ).

Точки, в которых амплитуда равна нулю, называются узлами ( ). Эти точки колебаний не совершают.

Пучность образуется в тех точках, где колебания бегущей и отражённой волн происходят в одинаковой фазе, т.е. ( ). Следовательно, координаты пучностей:

( ) . (122)

Узлы образуются там, где колебания происходят в противофазах, т.е. ( ). Следовательно, координаты узлов:

( ). (123)

Длиной стоячей волны называется расстояние между пучностями или узлами: .

Таким образом, длина стоячей волны равна половине длины складываемых волн:

. (124)

Стоячая волна не переносит энергии, т.к. энергия переносится в равных количествах бегущей и отражённой волнами.

Лекция 13 (2 часа)